Πανελλαδικές Εξετάσεις θέμα Β στις μηχανικές 6

digital matrix

1. Απλός αρμονικός ταλαντωτής, ελατήριο-μάζα, με σταθερά ελατηρίου k = 100 N/m και μάζα m = 1 kg εκτελεί  εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα διεγέρτη f = 8 / π Hz. Αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί, τότε το πλάτος της ταλάντωσης:     (2013)

α.  μειώνεται.

β.  αυξάνεται.

γ.  μένει σταθερό.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Λύση: Σωστό το α, γιατί: Η ιδιοσυχνότητα f0 = (1/2π)√(k / m) = (1/2π)√(100 / 1) = 5 / π Hz. Ισχύει f < f0  άρα από το διάγραμμα συντονισμού μπορούμε να δούμε ότι το πλάτος θα μειωθεί.

2. Ταλαντωτής που εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση έχει τη χρονική στιγμή t = 0 ενέργεια Ε0 και πλάτος Α0. Τη χρονική στιγμή t1 η ενέργεια του ταλαντωτή έχει ελαττωθεί κατά (15/16)·Ε0 . Τη χρονική στιγμή t1 το πλάτος Α1 της ταλάντωσης είναι:       (2013)

α.  Α0 / 2.

β.  Α0 / 4.

γ.  Α0 / 16.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Λύση: Σωστό το β, γιατί: Η ενέργεια μας δίνεται ότι έχει ελαττωθεί κατά (15/16)·Ε0 . Η ενέργεια που έχει το σώμα που ταλαντώνεται είναι: Ε1 = Ε0 – (15/16)·Ε0 = (1/16)·Ε0 .άρα Ε1 = (1/16)·Ε0 ⇒ ½·D·Α1² =(1/16)·½·D·Α0² ⇒ Α1² = (1/16)·Α0² ⇒ Α= Α0 / 4.

3. Δύο όμοια σώματα, ίσων μαζών m το καθένα, συνδέονται με όμοια ιδανικά ελατήρια σταθεράς k το καθένα, των οποίων τα άλλα άκρα είναι συνδεδεμένα σε ακλόνητα σημεία, όπως στο σχήμα. Οι άξονες των δύο ελατηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος ℓ0 και το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται είναι λείο.

panel sxima 5

Μετακινούμε το σώμα 1 προς τα αριστερά κατά d και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Το σώμα 1 συγκρούεται πλαστικά με το σώμα 2. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση  με σταθερά επαναφοράς D = 2k. Αν Α1 το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος 1 πριν τη κρούση και Α2 το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση, τότε ο λόγος A1 / A2 είναι:

α.   1.

β.   ½.

γ.   2.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Λύση: Σωστό το γ, γιατί: πριν την σύγκρουση το σώμα m έχει κυκλική συχνότητα ω = √(k / m) μετά την σύγκρουση δημιουργείται συσσωμάτωμα με κυκλική συχνότητα ω’ = √(2k / 2m) = √(k / m) = ω. Κατά την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: m·υmax = 2m·υmax ‘⇒ ω1Α= 2ω’Α⇒ Α= 2·Α⇒ A1 / A2 = 2.

4. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες f1 και f2, ίδιας  διεύθυνσης και ίδιου πλάτους, που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, με f> f2, παρουσιάζονται διακροτήματα με περίοδο διακροτήματος Τδ = 2 s. Αν στη διάρκεια του χρόνου αυτού πραγματοποιούνται 200 πλήρεις ταλαντώσεις, οι συχνότητες f1 και f2 είναι:       (2014)

α.   f= 200,5 Hz,     f= 200 Hz

β.   f= 100,25 Hz,   f= 99,75 Hz

γ.   f= 50,2 Hz,       f= 49,7 Hz

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Λύση: Σωστό το β, γιατί: Tδ = 1 / │f1 – f2 │⇒ │f1 – f2 │= 1 / Tδ = 1 / 2 . ισχύει Ν = Tδ / Τ ⇒ Τ =  Tδ / Ν ⇒ Τ = 1 / 100 ⇒ 2π / ω = 1 / 100 ⇒ 2π / (ω1 + ω2) / 2 = 1 / 100 ⇒ 4π / 2π (f1 + f2) = 1 / 100 ⇒ f1 + f= 200. Από τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: 2·f1 = 200,5 ⇒ f1 = 100,25 Hz άρα και  f2 = 99,75 Ηz.

Advertisements

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s