Πανελλαδικές εξετάσεις θέμα Γ μηχανικές 3

bird ready to fly

Θέμα Γ   (2009)

Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις :

x1=A ημωt     και     x2=A ημ (ωt + π /3),   με Α = 4 cm και ω = 10 rad / s.

α. Να υπολογισθεί το πλάτος Αολ της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ.

β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ.

γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ και να υπολογισθεί η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t = π / 15 s μετά από τη στιγμή t = 0.

δ. Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t = π / 120 s.

Δίνονται:   ημ (π / 6) = 1 / 2, συν (π / 6) = √3 / 2 , ημ (π / 4) = συν (π / 4) = √2 / 2, ημ (π / 3) = √3 / 2, συν (π / 3) = 1 / 2, ημ Α + ημ Β = 2 συν ((Α – Β) / 2) ημ ((Α + Β) / 2).

Λύση

A. Μας δίνονται Α1 = Α2 = Α και συν (π / 3) = ½ , άρα το πλάτος της συνολικής ταλάντωσης θα δίνεται:

Αολ = √(Α12 + Α22 + 2 Α1·A2 συν(π / 3)) = √(3Α2) = Α·√3 = 4 √3 cm.

B. εφ θ = (Α ημ (π / 3)) / (Α συν (π / 3) + Α) = (√3 / 2) / (½ + 1) = √3 / 3 ⇒ θ = π / 6

άρα θ = π / 6 rad. Η ζητούμενη εξίσωση της συνολικής απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι:

x = Aολ ημ (ωt + θ) = 0,04·√3 ημ (10t + π / 6). Μετατρέψαμε τα cm σε m γιατί στο επόμενο ερώτημα θα βρούμε την ταχύτητα.

Γ. Η μέγιστη ταχύτητα της συνολικής ταλάντωσης θα δίνεται: υmax = ω·Αολ = 0,4·√3 m/s.

H εξίσωση της ταχύτητας της συνολικής ταλάντωσης θα δίνεται:

υ = υmax συν (ωt + θ) = 0,4·√3 συν (10t + π / 6). Για t = π / 15 s, η ταχύτητα θα είναι:

υ = 0,4·√3 συν ((10π / 15) + π /6) =  0,4·√3 συν (5π / 6) = – 0,6 m / s.

Δ. Μας ζητάνε να υπολογίσουμε τον λόγο Κ / U, όπου Κ = Ε συν2 (ωt + θ) και U = E ημ2 (ωt + θ), άρα:

Κ = Eολ συν2 (10·(π / 120) + π / 6) =  Eολ συν2 (π / 4) = Eολ (√2 / 2)2, επίσης U = Eολ ημ2 (10·(π / 120) + π / 6) =  Eολ ημ2 (π / 4) = Eολ (√2 / 2)2 . Τελικά εύκολα υπολογίζουμε τον λόγο Κ / U = 1.

Advertisements

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s