Πανελλαδικές εξετάσεις θέμα Γ μηχανικές 4

Blue Bird Flying

Θέμα Γ    (2010)

Σώμα  Σ1 μάζας m= 1 kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία  φ = 30ο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς  k = 100 N / m  το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

panel sxima 15

Εκτρέπουμε το σώμα Σ1 κατά d= 0,1 m από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και  το αφήνουμε ελεύθερο.

Γ1 . Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Γ2 . Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ1.

Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά ∆ℓ = 0,3 m. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m= 1 kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ1, και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα.

panel sxima 16

 

Γ3 . Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ2 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του.

Γ4Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαμε ελεύθερα τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους.

∆ίνονται: ημ 30ο = 1 / 2, g = 10 m / s².

Λύση

elatiria se keklimeno_1

Γ1 . Στο σχήμα βλέπουμε την θέση φυσικού μήκους, κατά x1 απέχει η θέση ισορροπίας και κατά x παίρνουμε την τυχαία θέση.

elatiria se keklimeno_2Στη θέση ισορροπίας: ΣF = 0 βλέπουμε τις δυνάμεις στο αριστερό σχήμα, ισχύει: ημφ = w1,x / w1 ⇒ w1,x = w1·ημφ ⇒ w1,x = m1·g·ημφ

άρα ΣF = 0 ⇒ w1,x – Fελ = 0 ⇒ m1 g ημφ – k·x1 = 0 ⇒ m1·g·ημφ = k·x1

Στη τυχαία θέση: ΣF ‘ = w1,x – Fελ ‘ = m1·g·ημφ – k·(x+ x) = – k·x  άρα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D = k.

Γ2Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι η δύναμη: Δp / Δt = ΣF = m α, και ο μέγιστος ρυθμός η μέγιστη δύναμη: Δpmax / Δt = m·αmax = m·ωΑ = k·A = 100·0,1 = 10 N (ή kg·m / s²).

Γ3Για το σύστημα των δύο σωμάτων D = k = (m1 + m2)·ω2 ⇒ ω2 = k / (m1 + m2). Για το σώμα Σ2 : D = m2·ω2 = (m2 / (m1+m2))·k =( 1 / (1 + 1))·100 = 50 N / m.

Γ4 .  

elatiria se keklimeno_3

Στο Γ1 . ερώτημα είχαμε: m1·g·ημφ = k·x⇒ x= (m1·g·ημφ) / k = (1·10·½) / 100 = 0,05 m.

Στη νέα θέση ισορροπίας ισχύει: ΣF’ = 0 ⇒ w12,x – Fελ‘= 0 ⇒ (m1 +m2) g ημφ – k· (x+ x2 ) = 0 η σχέση απλοποιείται με την βοήθεια της m1·g·ημφ = k·xάρα:  m2·g·ημφ = k·x⇒ x= (m2·g·ημφ) / k = (1·10·½) / 100 = 0,05 m.

Τα σώματα βρίσκονται σε επαφή άρα μεταξύ τους ασκείται η δύναμη Fεσ ,

Στο σώμα Σ2 ασκείται η δύναμη ΣF2 = mg·ημφ – Fεσ = – k·x. Tα σώματα χάνουν την επαφή τους άρα Fεσ = 0 στη θέση x, άρα  m2·g·ημφ = – k·x ⇒ x = – (m2·g·ημφ) / k = – (1·10·½ ) / 100 = – 0,1 m πάνω από την θέση ισορροπίας, δηλαδή σε απόσταση 0,3 m από την θέση που τα αφήσαμε ελεύθερα.

Advertisements

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s