Πανελλαδικές εξετάσεις θέμα Γ μηχανικές 1

bird with a warm

3ο ΘΕΜΑ  2006

panel sxima 14

To σώμα Σ του σχήματος είναι συνδεδεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς  Κ=900 Ν / m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με περίοδο Τ = π / 15 s. Το σώμα τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα υ = 6 m / s  κινούμενο προς τα δεξιά. Να βρείτε:

Α. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος.

Β. Τη μάζα του σώματος.

Γ. Την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες για το χρονικό διάστημα από 0 έως 2π / 15 s.

Δ. Για ποιες απομακρύνσεις ισχύει Κ = 3U, όπου Κ η κινητική ενέργεια και U η δυναμική ενέργεια του συστήματος.

Λύση

Α. Μας δίνεται η περίοδος και θα υπολογίσουμε την κυκλική συχνότητα ω (θεωρείστε το αναγκαίο βήμα): ω = 2π / Τ ⇒ ω = 30 rad / s.

H ταχύτητα δίνεται υ = 6 m / s και το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας, άρα είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υmax = ωΑ ⇒ Α = υmax / ω = 6 / 30 = 0,2 m.

Β. To σύστημα εκτελεί ταλάντωση με D = k ⇒ mω2 = k ⇒ m = k / ω2 ⇒ m = 900 / 302 ⇒ m = 1 kg.

Γ. Η ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση γιατί το σώμα την t = 0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τα δεξιά, άρα φ0 = 0. Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο είναι: x = A ημ (ωt + φ0) ⇒ x = 0,2 ημ 30t.

Μας δίνεται χρονικό διάστημα Δt = 2π / 15 s , θα πάρουμε τον λόγο Δt / Τ για να υπολογίσουμε τι σχέση έχει το χρονικό διάστημα με την περίοδο Τ, άρα:  Δt / Τ = 2.

Θα πρέπει να σχηματίσουμε την γραφική παράσταση x – t για χρονικό διάστημα 2 περιόδων. Η ζητούμενη γραφική παράσταση είναι:

grafiki thema 3 2006_1

Δ. Δίνεται Κ = 3U, από την αρχή διατήρησης ενέργειας: Ε = Κ + U ⇒ E = 3U + U ⇒ E = 4U ⇒ ½ D A2 = 4 ½ D x2  ⇒ 4 x2 = A2 ⇒ x2 = A2 / 4 ⇒ x = ± (A / 2) ⇒ x = ± 0,1 m.

Advertisements

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s