Τράπεζα θεμάτων Β λυκείου προσανατολισμού 15978

Sparklers circular slow motion

Η φωτογραφία μας δείχνει την (σχεδόν) κυκλική κίνηση που διαγράφει το άκρο που κρατάει στο κάθε χέρι του ο άνθρωπος.

Μια άσκηση που συνδυάζει την ορμή με την ομαλή κυκλική κίνηση.

Επιστρέψτε στη σελίδα που φιλοξενεί όλα τα θέματα.

ΘΕΜΑ Δ

Ένα τρενάκι αποτελείται από δύο μικρά βαγόνια και μπορεί να κινείται με ομαλή κυκλική κίνηση σε κυκλικές ράγες ακτίνας r = (2 / π)  m με περίοδο T = 2 s.

Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας περιστροφής του αντικειμένου.

Κάποια χρονική στιγμή το τρένο υφίσταται μια μικρή έκρηξη και τα δύο βαγόνια αποχωρίζονται μεταξύ τους, ενώ συνεχίζουν να κινούνται στις κυκλικές ράγες. Η μάζα και των δύο μαζί είναι m = 3 kg ενώ η μάζα του μπροστινού βαγονιού είναι m1 = 1 kg. Το μπροστινό βαγόνι μετά την έκρηξη κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 = 12 m / s του τρένου.

Δ2. Να υπολογίσετε την τιμή της ταχύτητας του άλλου βαγονιού.

Δ3. Να βρείτε το ποσό της ενέργειας που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη.

Δ4. Πόση γωνία θα έχει διαγράψει το κάθε βαγόνι μέχρι να συναντηθούν για πρώτη φορά, μετά την έκρηξη;

Στην επίλυση του προβλήματος θεωρούμε τα βαγόνια ως υλικά σημεία.

Λύση

Δ1.

15978 b kat_1

H γωνιακή ταχύτητα σε σχέση μρ την περίοδο:

ω = 2π / Τ ⇒ ω = 2π / 2 ⇒ ω  = π rad / s .

H σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας:

(μια σχέση μέτρων γιατί τα υ , ω έχουν διαφορετικές διευθύνσεις)

υ = ω ·r ⇒ υ = π ·2 / π ⇒ υ = 2 m / s .

Δ2. Bλέπουμε στο σχήμα την αποχώρηση των δύο βαγονιών,

για τις μάζες: m = m+ m2 ⇒ m2 = m – m⇒ m2 = 3 – 1 ⇒ m2 = 2 kg .

Η αρχή διατήρησης της ορμής:

(διανυσματική σχέση που ισχύει σε μονωμένο σύστημα σωμάτων)

Ρολ,αρχ = Ρολ,τελ ⇒ m·υ = m1·υ– m·υ⇒ m2·υ=  m1·υ– m·υ ⇒ υ2  = (  m1·υ– m·υ ) / m⇒ υ= (1·12 – 3·2) / 2 ⇒ υ= 3 m / s .

Δ3. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας:

(η γενικότερη μορφή)

Kαρχ = Q + Kτελ ⇒ Q = Kαρχ – Kτελ ⇒ Q = ½·m·υ² – (½·m1·υ1² + ½·m2·υ2²) ⇒ Q = ½·3·2² – (½·1·12² + ½·2·3²) ⇒ Q = – 75 joule.

Ο συνάδελφος Δημήτρης Τσιλογιάννης (τον ευχαριστούμε) προσθέτει :

Το αποτέλεσμα Q = – 75 joule , πρακτικά σημαίνει ότι «απαιτήθηκαν» 75J ενέργειας για να γίνει ο αποχωρισμός των βαγονιών. Προφανώς δεν εκλύθηκε αυτή η ενέργεια. Καταναλώθηκε.
Συμπέρασμα: Κακή διατύπωση του ερωτήματος για το ποσόν της ενέργειας που «ελευθερώνεται» κατά την έκρηξη. Νομίζω ότι η διατύπωση παραπληροφορεί το μαθητή που θα λύσει την άσκηση.

Συμφωνούμε με τον συνάδελφο.

Δ4. To mβαγόνι θα έχει διαγράψει τόξο 2π·r – x ενώ το mβαγόνι θα έχει διαγράψει τόξο x μέχρι να συναντηθούν τα δύο βαγόνια για πρώτη φορά:

Η ταχύτητα του m:

υ= (2π·r – x) / t ⇒ 2π·r – x = υ·t

Η ταχύτητα του m:

υ= x / t ⇒ x = υ2·t

συνδυάζουμε τις παραπάνω σχέσεις:

2π·r – υ2·t = υ·t ⇒ 2π·r = υ2·t + υ·t ⇒ 2π·r = (υ2 + υ1)·t ⇒ t = 2π·r / (υ2 + υ1) ⇒ t = 4 / (3+12) ⇒ t = 4 / 15 s .

Σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας για το m:

υ= ω1·r ⇒ ω= υ/ r ⇒ ω= 6π rad / s ,

Σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας για το m:

υ= ω2·r ⇒ ω= υ/ r ⇒ ω= 1,5π rad / s .

Ο ορισμός της γωνιακής ταχύτητας του m:

ω= θ/ t ⇒ θ= ω1·t ⇒ θ= 6π·(4 / 15) = 24π / 15 rad ,

Ο ορισμός της γωνιακής ταχύτητας του m:

ω= θ/ t ⇒ θ= ω2·t ⇒ θ= 1,5·π·(4 / 15) = 6π / 15 rad .

Η άσκηση είναι πρωτότυπη, μας άρεσε πολύ.

Προτείνουμε να λυθεί στην τάξη από τον καθηγητή.

Η διόρθωση έγινε από την συνάδελφο Πέννυ Περβανίδου την οποία ευχαριστώ για την βοήθεια.

Η συνάδελφος μου δίδαξε επίσης την αξία της επαλήθευσης θ+ θ2 = (24π / 15) + (6π / 15) = 2π και την ευχαριστώ ξεχωριστά γι’ αυτό.

Επιστρέψτε στη σελίδα που φιλοξενεί όλα τα θέματα.

Advertisements

6 thoughts on “Τράπεζα θεμάτων Β λυκείου προσανατολισμού 15978

  1. Κώστα
    ένα μεγάλο ευχαριστώ πρώτα για την δουλειά που κάνεις!!!!
    Σου έχω μια πολύ γρηγορότερη λύση για το Δ4 ( όπως κ για το Δ4 στην15955) :
    ω1/ω2=υ1/υ2=θ1/θ2 έτσι θ1/θ2=12/3=4 και θ1/(θ1+θ2)=4/(4+1) (ιδιότητα κλασμάτων) και θ1+θ2=2π
    οπότε θ1/2π=4/5 (….γκρρ…πως βάζουμε το «συνεπάγεται»;)
    και φτάσαμε : θ1=8π/5 rad θ2=2π-8π/5=2π/5.
    Καλό είναι να μην μπλέκουμε τον χρόνο αν η ίδια η άσκηση δεν τον ανακατώνει … 🙂 !

    Αρέσει σε 1 άτομο

  2. Εγώ ευχαριστώ όλους σας και πιστεύω ότι μέχρι το τέλος θα είναι συλλογική δουλειά. Καλό το σχόλιο για το συνεπάγεται (χα χα), δεν βλέπεις τα χάλια μου με τα πλάγια κλάσματα. Σωστότατο το σχόλιο για τον χρόνο, Θα προσθέσω τις απαντήσεις όταν τελειώσω με τις σημερινές ασκήσεις. Έξυπνος ο τρόπος σου. Μπράβο!.

    Μου αρέσει!

  3. Το αποτέλεσμα του ερωτήματος Δ3 είναι -75J. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι «απαιτήθηκαν» 75J ενέργειας για να γίνει ο αποχωρισμός των βαγονιών. Προφανώς δεν εκλύθηκε αυτή η ενέργεια. Καταναλώθηκε.
    Συμπέρασμα: Κακή διατύπωση του ερωτήματος για το ποσόν της ενέργειας που «ελευθερώνεται» κατά την έκρηξη. Νομίζω ότι η διατύπωση παραπληροφορεί το μαθητή που θα λύσει την άσκηση.

    Αρέσει σε 1 άτομο

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s