Τράπεζα θεμάτων Β λυκείου φυσική προσανατολισμού 16108

Καλλιτεχνική αναπαράσταση του τι βρίσκεται μέσα στο κεφάλι ενός ανθρώπου. Η γνώση προκαλεί και αλλάζει τον τρόπο που σκεφτόμαστε.

Η άσκηση που σας παρουσιάζουμε έχει κλασσική υφή. Μια άσκηση εξάσκησης, που θα δείξει αδυναμίες μαθητών σε βασικά σημεία.

Μια άσκηση που είχε πρόβλημα στο τελευταίο ερώτημα και διορθώθηκε – αντικαταστάθηκε με την 20133 Δ.

Επιστρέψτε στη σελίδα που φιλοξενεί όλα τα θέματα.

ΘΕΜΑ Δ

Ορισμένη ποσότητα ιδανικού αερίου πραγματοποιεί την αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ του σχήματος. Η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας Β ισούται με Τ_Β = 400 Κ.

Δ₁. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β και Γ του διπλανού διαγράμματος βρίσκονται στην ίδια ισόθερμη καμπύλη.

Δ₂. Να υπολογισθεί η θερμότητα που ανταλλάσει το αέριο με το περιβάλλον κατά τη διάρκεια της κυκλικής μεταβολής.

Δ₃. Να υπολογίσετε το έργο W που παράγεται από το αέριο κατά τη μεταβολή ΒΓ.

Δ₄. Ποια είναι η απόδοση μιας μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των ίδιων ακραίων θερμοκρασιών με τις ακραίες θερμοκρασίες που εμφανίζονται κατά τη διάρκεια του κύκλου ΑΒΓΑ ;

Δίνεται ότι: C_v = 3∙R / 2, όπου R είναι η σταθερά των ιδανικών αερίων και 1 L = 10^-3 m³ .

Λύση

Δ₁.

A → B ισόχωρη θέρμανση (V_A = V_B) :

P_A / T_A = P_A / T_A ⇒ T_A = T_B·(P_A / P_B) ⇒ T_A = 400·(2·10⁵ / 4·10⁵) ⇒ T_A = 200 K .

B → Γ άγνωστη μεταβολή

Γ → Α  ισοβαρής συμπίεση ή ψύξη (Ρ_Γ = Ρ_A) :

V_Γ / T_Γ = V_A / T_A ⇒ T_Γ = T_A·(V_Γ / V_A) ⇒ T_Γ = 200·(4·10^-3 / 2·10^-3) ⇒ T_Γ = 400 Κ.

Άρα T_B = T_Γ = 400 Κ .

Η συνάδελφος Δέσποινα Μακρή σχολιάζει (την ευχαριστούμε) :

Για να δείξουμε ότι δύο σημεία στο διάγραμμα πίεσης – όγκου βρίσκονται πάνω στην ίδια ισόθερμη, θα μπορούσαμε εναλλακτικά να αποδείξουμε ότι το γινόμενο πίεσης και όγκου έχει την ίδια τιμή και για τα δύο αυτά σημεία.

Σχόλιο: Φυσικά η Δέσποινα έχει δίκιο. Στην άσκηση αυτή δώσαμε μεγάλη λύση.

Δ₂. και Δ₃.

W_AB = 0 ισόχωρη μεταβολή

W_BΓ = εμβαδό στο P – V ⇒ W_BΓ = ½·(4·10⁵ + 2·10⁵)·(4 – 2)·10^-3 ⇒ W_BΓ = 600 joule .

W_ΓA = P_Γ·(V_A – V_Γ) ⇒ W_ΓA = 2·10⁵·(2·10^-3 – 4·10^-3) ⇒ W_ΓA = – 400 joule .

W_ολ = W_AB + W_BΓ + W_ΓΑ ⇒ W_ολ = 0 + 600 – 400 ⇒ W_ολ = 200 joule .

Σχόλιο του Βαγγέλη Κουντούρη (τον ευχαριστούμε): Μπορούμε να βρούμε ευκολότερα το ολικό έργο από το «εμβαδόν» του τριγώνου:

W_ολ = εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ = ½·(4 – 2)·10^-3·(4 – 2)10⁵ ⇒ W_ολ = 200 joule .

1oς θερμοδυναμικός νόμος στην κυκλική μεταβολή ΑΒΓΑ :

(η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε όλο τον κύκλο είναι συνολικά μηδέν, δεδομένου ότι η αρχική και η τελική θερμοκρασία ταυτίζονται.)

Q_ολ = W_ολ + ΔU_ολ ⇒ Q_ολ = W_ολ ⇒ Q_ολ = W_ολ = 200 joule .

Δ₄. H απόδοση της μηχανής (καλύτερα ενός κύκλου Carnot, με τη μεγαλύτερη δυνατή απόδοση από κάθε κύκλο):

e_c = 1 – T_c / T_h ⇒ e_c = 1 – (T_A / T_Γ) ⇒ e_c = 1 – (200 / 400) ⇒ e_c = 1 – ½ ⇒ e_c = ½ .

Σχόλιο του συναδέλφου Αρίστου Μελετόπουλου (τον ευχαριστούμε) : Η T_h δεν είναι 400 Κ αλλά βρίσκεται στη μέση της απόστασης ΒΓ.

Σχόλιο του Διονύση Μάργαρη (τον ευχαριστούμε): Έχει δίκιο στο σχόλιο του ο φίλος Αρίστος και η γνώμη μου είναι ότι η άσκηση πρέπει να διορθωθεί. Είναι αδύνατον σε εξετάσεις, να ζητάμε από μαθητή να βρει τη μέγιστη θερμοκρασία!!!

Σχόλιο του Βαγγέλη Κουντούρη (τον ευχαριστούμε ξανά):

Συμφωνώ για την τροποποίηση του Δ4, διότι εξαιρετικά δύσκολο ως μαθηματικίστικο.

Για όσους, όμως, ενδιαφέρονται, βρίσκω ότι η μέγιστη θερμοκρασία είναι πράγματι στο μέσον του ευθυγράμμου τμήματος της μεταβολής και είναι ίση με 450 °C .

Σχόλιο του Βασίλη Δουκατζή (τον ευχαριστούμε):

Η εξίσωση της ΒΓ είναι: p = 6·10⁵ – 10⁸V (S.I.)  (1)

αλλά p_BV_B = nRT_B → nR = 2 J/K

Γενικά pV = 2T (S.I.)  (2)

Από (1), (2) → p = 6·10⁵ – 10⁸·2T/p → p² = 6·10⁵p – 2·10⁸T → p² – 6·10⁵p + 2·10⁸T = 0

Για να έχουμε πραγματικές λύσεις πρέπει: Δ ≥ 0 → 36·10¹⁰ – 8·10⁸Τ ≥ 0 → Τ ≤ 450 Κ

Άρα Τ_max = 450 Κ.

Το ίδιο βγαίνει και με την συνάρτηση Τ = f(p) ζητώντας ακρότατα (τοπικό μέγιστο)

αλλά πάει πολύ για μαθητές Β λυκείου (όχι ότι και η παραπάνω λύση είναι εύκολη).

Οπότε έχει απόλυτο δίκιο ο Αρίστος!!!

Εκτός αν πούμε την πιο «μπακαλίστικη» λύση:

Οι υπερβολές είναι ισοσκελείς, οπότε η υπερβολή που αντιστοιχεί στην μέγιστη θερμοκρασία είναι αυτή που περνά από το μέσο της ΒΓ και θέτοντας p = 3·10⁵ N/m², V = 3·10^-3 m³ και nR = 2 J/K, προκύπτει Τ = 450 Κ .

Ο συνάδελφος Χρήστος Τσουκάτος (τον ευχαριστούμε) προσθέτει:

Μετά τις παρατηρήσεις που έγιναν η 16108 «αποσύρθηκε» και αντικαταστάθηκε με την 20133 όπου το Δ₄. έγινε:
Δ₄. Ποια είναι η απόδοση μιας μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών που προσδιορίζουν οι ισόθερμες που διέρχονται από τα σημεία Α και Β της κυκλικής μεταβολής ΑΒΓΑ;

Ο Δάσκαλος Βαγγέλης Κουντούρης προτείνει και η νέα εκφώνηση του υπουργείου να απλοποιηθεί στο Δ₄. και να γίνει:

Ποια είναι η απόδοση μιας μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ των θερμοκρασιών του αερίου στις καταστάσεις Α και Β;

Σχόλιο της σελίδας: Η διατύπωση που δώσαμε είχε αντικατασταθεί και διορθωθεί ήδη. Φταίμε εμείς γιατί δεν ενημερώσαμε τα θέματα της τράπεζας, παρόλα αυτά είμαστε ήσυχοι (και περήφανοι) που ανήκουμε στην ζωντανή κοινότητα των καθηγητών φυσικής, γιατί:

Οι μαθητές που θα δουν τα παραπάνω σχόλια, θα ηρεμήσουν ξέροντας ότι το κάθε λάθος μπορεί άμεσα (από τα πρώτα λεπτά που έγινε η δημοσίευση):

να τονιστεί (συνάδελφος Αρίστος Μελετόπουλος),

να επιβεβαιωθεί και να σχολιαστεί (Δάσκαλος Διονύσης Μάργαρης),

να επιβεβαιωθεί ξανά (Δάσκαλος Βαγγέλης Κουντούρης),

να λυθεί – αναλυθεί (υποψήφιος δάσκαλος Βασίλης Δουκατζής),

να βρεθεί η πιο σύντομη λύση (Δάσκαλος Βαγγέλης Κουντούρης (2), συνάδελφος (και συνεργάτης) Δέσποινα Μακρή)

να γίνει ενημέρωση για την νέα εκφώνηση (συνάδελφος Χρήστος Τσουκάτος)

και τελικά να δοθεί διόρθωση – βελτίωση στη νέα εκφώνηση, την δεύτερη του υπουργείου(Δάσκαλος Βαγγέλης Κουντούρης (3)).

Επιστρέψτε στη σελίδα που φιλοξενεί όλα τα θέματα.