Λύσεις τράπεζας θεμάτων στην Α΄ λυκείου Δ θέμα 4980

check mat

Η κίνηση που θα κάνει την διαφορά για το μέλλον όλων μας, θα έρθει από την επιστήμη της φυσικής .

Σας παρουσιάζουμε μια άσκηση που συνδυάζει κινήσεις & δυνάμεις & ενέργειες .

Μια άσκηση που μας λύνει ο συνάδελφος Κώστας Ψυλάκος (τον ευχαριστούμε).

Μια άσκηση που συνδυάζει πολλές άλλες της τράπεζας θεμάτων.

Προτείνουμε να διαβάσετε την νέα μελέτη.

Δείτε και αυτό είναι η νέα μας προσπάθεια (με ανανεωμένο εβδομαδιαίο πρόγραμμα).

Επιστρέψτε στη σελίδα που διαθέτει όλα τα Δ θέματα της τράπεζας της Α λυκείου.

ΘΕΜΑ Δ

Τα κιβώτια Κ1 και Κ2 του σχήματος έχουν μάζες m1 = 3 kg και m2 = 5 kg αντίστοιχα και βρίσκονται αρχικά ακίνητα σε οριζόντιο δάπεδο, με το οποίο εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής μ = 0,5. Τα κιβώτια είναι δεμένα με­ταξύ τους με ένα μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας, το οποίο είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 ένας εργάτης ασκεί στο κιβώτιο Κ1 οριζόντια σταθερή δύναμη F στη διεύ­θυνση του νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα και μετακινεί τα κιβώτια με σταθερή επιτάχυνση α =  1 m / s2. 4980 d thema a lik Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της τριβής ολίσθησης που ασκείται σε καθένα κιβώτιο.

Δ2. Να εφαρμόσετε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής στο κιβώτιο Κ2 και να υπολογίσετε το μέ­τρο της δύναμης που ασκείται στο κιβώτιο αυτό από το νήμα.

Δ3. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης που ασκεί το νήμα στο κιβώτιο Κ1, από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 4 s.

Δ4. Να υπολογίσετε πόσο τοις εκατό από την ενέργεια που μεταβιβάζει ο εργάτης στα κιβώτια, με­ταφέρεται ως κινητική στο κιβώτιο Κ1. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m / s2.

Λύση

Δ1.

4980 d thema a lik_1

Το κιβώτιο Κ2 ισορροπεί στον κατακόρυφο άξονα y :

(η κάθετη δύναμη από το δάπεδο είναι η N2 και το βάρος του κιβωτίου είναι w2)

ΣFy,2 = 0 ⇒ N2 – w2 = 0 ⇒ N2 = w2 ⇒ N2 = m2·g ⇒ N2 = 5·10 ⇒ N2 = 50 N .

Η τριβή ολίσθησης στο κιβώτιο Σ2 , Τολ,2 :

Τολ,2 = μ·N2 ⇒ Τολ,2 = 0,5·50 ⇒ Τολ,2 = 25 Ν .

Το κιβώτιο Κ1 ισορροπεί στον κατακόρυφο άξονα y :

(η κάθετη δύναμη από το δάπεδο είναι η N1 και το βάρος του κιβωτίου είναι w1)

ΣFy,1 = 0 ⇒ N1 – w1 = 0 ⇒ N1 = w1 ⇒ N1 = m1·g ⇒ N1 = 3·10 ⇒ N1 = 30 N .

Η τριβή ολίσθησης στο κιβώτιο Σ1 , Τολ,1 :

Τολ,1 = μ·N1 ⇒ Τολ,1 = 0,5·30 ⇒ Τολ,1 = 15 Ν .

Δ2.

2ος νόμος του Newton στο κιβώτιο Κ1 :

(F η σταθερή δύναμη που ασκείται στο m, Fv η δύναμη που ασκείται από το νήμα στο m1)

ΣFx,1 = m1·α ⇒ F – Fv – Τολ,1 = m1·α … (I) .

2ος νόμος του Newton στο κιβώτιο Κ2 :

(Fv είναι οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα στα σώματα και οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες γιατί το νήμα είναι αβαρές)

ΣFx,2 = m2·α ⇒ Fv – Τολ,2 = m2·α … (II) .

To νήμα που συνδέει τα δύο σώματα είναι τεντωμένο, άρα η επιτάχυνση των δύο σωμάτων είναι η ίδια .

Προσθέτουμε τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) κατά μέλη :

F – Fv – Τολ,1 + Fv – Τολ,2 = m1·α + m2·α ⇒ F – (Τολ,1 + Τολ,2) = (m+ m2)·α ⇒

(Η ολική μάζα των δύο κιβωτίων είναι : mολ = m+ m⇒ mολ = 3 + 5 ⇒ mολ = 8 kg)

F = mολ·α + Τολ,1 + Τολ,2 ⇒ F = 8·1 + 15 + 25 ⇒ F = 48 N .

Από την σχέση (ΙΙ) :

(ΙΙ) ⇒ Fv – Τολ,2 = m2·α ⇒ Fv = m2·α + Τολ,2 ⇒ Fv = 5·1 + 25 ⇒ Fv = 30 Ν .

Δ3.

Τα δύο κιβώτια Σ1 και Σ2 μετατοπίζονται κατά την ίδια μετατόπιση :

Δx= Δx= ½·α·Δt1² ⇒ Δx= Δx= ½·1·(4 – 0)² ⇒ Δx= Δx= 8 m .

Το έργο της δύναμης που ασκεί το νήμα στο κιβώτιο Κ1, από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 4 s :

WFν,1 = – Fv·Δx⇒ W = – 30·8 ⇒ W = – 240 joule .

Επέκταση του ερωτήματος :

Το έργο της δύναμης που ασκεί το νήμα στο κιβώτιο Κ2, από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 4 s :

WFν,2 = + Fv·Δx⇒ WFν,2 = + 30·8 ⇒ WFν,2 = + 240 joule .

Δ4.

Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας στο κιβώτιο Σ:

(άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού, εφαρμόζεται στο σώμα μάζας m1)

ΔΚ= WΣF  ⇒ Κ– 0 = W– (Fν + Τολ,1)·x … (ΙΙΙ) .

Το ποσοστό της ενέργειας που μεταφέρεται μέσω της F στα κιβώτια μεταφέρεται ως κινητική στο Σ:

Π % = Κ/ WF

μέσω της σχέσης (ΙΙΙ) ,

Π % = {1 – [(Fν + Τολ,1) / F}·100 % ⇒ Π % = {1 – [(30 + 15) / 48}·100 % = 6,25 % .

Επέκταση της άσκησης 

Δ5Την χρονική στιγμή t2 = 15 s το νήμα σπάει ενώ η F εξακολουθεί να ασκείται στο Σ. Να υπολογίσετε το λόγο των ταχυτήτων υ1 / υ2 των δύο κιβωτίων 2 s μετά την κοπή του νήματος .

Δ6Την στιγμή που το κιβώτιο Σ2 σταματά ποια είναι η απόσταση d΄ μεταξύ των Σ1 και Σ2  αν την χρονική στιγμή t= 15 s η μεταξύ τους απόσταση ήταν d = 8 m .

Λύση

Δ5.

4980 d thema a lik_2

Η ταχύτητα των κιβωτίων την χρονική στιγμή t2 που κόβεται το νήμα είναι :

υ = α·t2 ⇒ υ = 1·15 ⇒ υ = 15 m / s .

(H ταχύτητα υ είναι τώρα η αρχική ταχύτητα για την κίνηση των κιβωτίων μετά την κοπή του νήματος)

2ος νόμος του Newton στο κιβώτιο Σ2 :

ΣF2 = m2·|α2| ⇒ Τολ,2 = m2·|α2| ⇒ |α2| = Τολ,2 / m⇒ |α2| = 25 / 5 ⇒ |α2| = 5 m / s² .

Το κιβώτιο Σ2 μάζας m2 εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

H σχέση της ταχύτητας του Σ2 σε σχέση με τον χρόνο, είναι :

υ2 = υ – |α2|·Δt ⇒ υ2 = 15 – 5·2 ⇒ υ2 = 5 m / s .

2ος νόμος του Newton στο κιβώτιο Σ1 :

ΣF1 = m1·|α1| ⇒ F – Τολ,1 = m1·|α1| ⇒ |α1| = (F – Τολ,1) / m⇒ |α1| = (48 – 15) / 3 ⇒ |α1| = 11 m / s² .

Το κιβώτιο Σ1 μάζας m1 εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

H σχέση της ταχύτητας του Σ1 σε σχέση με τον χρόνο, είναι :

υ1 = υ + |α1|·Δt ⇒ υ1 = 15 + 11·2 ⇒ υ1 = 37 m / s .

O λόγος των ταχυτήτων υ1 / υ2 των δύο κιβωτίων :

υ1 / υ2 = 37 / 5 .

Δ6.

Το Σ2 σταματάει (υ2΄ = 0) σε χρόνο Δt΄ = t – t2 , από την σχέση ταχύτητας χρόνου :

0 = υ – |α2|·(t – t2) ⇒ t – t2 = υ / |α2| ⇒ t – t2 = 15 / 5 ⇒ t = 3 + 15 ⇒ t = 18 s .

To Σ2 έχει διανύσει :

(συνδυάζουμε τις σχέσεις υ2΄ = υ – |α2|·Δt2΄ και S2 = υ·Δt2΄ – ½·|α2|·Δt2΄²)

S2 = υ² / (2·|α2|) ⇒ S2 = 15² / (2·5) ⇒ S2 = 22,5 m .

Τότε το Σ1 έχει διανύσει :

S1 = υ·(t – t2) + ½·|α1|·Δt2΄² ⇒ S1 = 15·(18 – 15) + ½·11·(18 – 15)² ⇒ S1 = 94,5 m .

4980b d thema a lik_3

Από το σχήμα βλέπουμε :

d + S1 = S2 + d΄ ⇒ d΄ = d + S1 – S2 ⇒ d΄ = 8 + 94,5 – 22,5 ⇒ d΄ = 80 m .

Μια όμορφη λύση, με ωραίες προεκτάσεις από τον Κώστα Ψυλάκο.

Προτείνουμε η άσκηση να διδαχτεί στη τάξη από τον καθηγητή με τον παραπάνω τρόπο.

Επιστρέψτε στη σελίδα που διαθέτει όλα τα Δ θέματα της τράπεζας της Α λυκείου.

Advertisements

One thought on “Λύσεις τράπεζας θεμάτων στην Α΄ λυκείου Δ θέμα 4980

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s