Λύσεις τράπεζας θεμάτων στην Α΄ λυκείου Δ θέμα 4989

cheer

Το πλήθος στην cartoon έκδοση του , χαίρεται γιατί ήρθε η ώρα για μια ακόμα ωραία άσκηση .

Σας παρουσιάζουμε μια άσκηση από τις μεταβλητές δυνάμεις που συνδυάζει κινήσεις , δυνάμεις και ενέργειες .

Μια άσκηση που λύνει και επεκτείνει με τον δικό του τρόπο ,

ο συνάδελφος Κώστας Ψυλάκος (τον ευχαριστούμε) .

Ο Κώστας Ψυλάκος δημιούργησε μια σειρά ασκήσεων , συνδυάζοντας αρκετές ασκήσεις από την τράπεζα θεμάτων.

Ασκήσεις που στην (επαναληπτική) φάση που διανύουμε αποτελούν μια πολύ καλή και διδακτική πρόταση .

Προτείνουμε να διαβάσετε τις απόψεις αυτές. 

Δείτε και αυτό, είναι η νέα μας προσπάθεια (με ανανεωμένο εβδομαδιαίο πρόγραμμα) .

Επιστρέψτε στη σελίδα που διαθέτει όλα τα Δ θέματα της τράπεζας της Α λυκείου.

ΘΕΜΑ Δ

Ένα κιβώτιο μάζας 8 kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε ένα σημείο οριζόντιου δαπέδου. Τη χρονική στιγμή t = 0 ένας μαθητής ασκεί στο κιβώτιο οριζόντια δύναμη F , και το κιβώτιο αρχίζει να κινεί­ται κατά μήκος μιας ευθείας που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄x.

Η αλγεβρική τιμή της δύναμης μεταβάλλεται με τη θέση x του σώματος, σύμφωνα με τη σχέση F = 100 – 20x, (όπου F σε Ν και x σε m) μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται και στη συνέχεια καταργείται. Το κιβώτιο βρίσκεται αρχικά στη θέση x0 = 0 του άξονα και κατά την κίνηση του δέχεται από το δάπεδο σταθερή δύναμη τριβής μέτρου 30 Ν.

Δ1. Να προσδιορίσετε τη θέση του κιβωτίου στην οποία μηδενίζεται το μέτρο της δύναμης F .

Δ2. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F , από τη χρονική στιγμή t= 0, μέχρι τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται.

Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κιβωτίου τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η δύναμη F.

Δ4. Να βρείτε πόσο διάστημα διανύει το κιβώτιο επιβραδυνόμενο, στη χρονική διάρκεια που ενεργεί η δύναμη F.

Λύση

Στο σώμα ασκείται η F μέχρι την στιγμή που μηδενίζεται , μετά καταργείται . Σε όλη την κίνηση η τριβή ολίσθησης είναι Τολ = 30 Ν .

Δ1.

Στη θέση x, η δύναμη μηδενίζεται F = 0 :

F = 0 ⇒ 100 – 20·x= 0 ⇒ x= 100 / 20 ⇒ x= 5 m .

Επέκταση του ερωτήματος

Να γίνει η γραφική παράσταση της δύναμης F σε συνάρτηση με την θέση x και της συνισταμένης δύναμης ΣF σε συνάρτηση με την θέση x .

Λύση επέκτασης

Η δύναμη F : F = 100 – 20·x .(S.I.) Για x = 0 ⇒ F = 100 N . Για F = 0 ⇒ x= 5 m , όπως υπολογίσαμε πριν .

H συνισταμένη δύναμη :

ΣF= F – Tολ ⇒ ΣF= (100 – 20·x) – 30 ⇒ ΣF= 70 – 20·x … (S.I.)

Για x = 0 ⇒ ΣF= 70 N .

Για ΣF= 0 ⇒ 70 – 20·x΄ = 0 ⇒ x΄ = 7 / 2 ⇒ x΄ = 3,5 m .

Το διάγραμμα δύναμης F – θέσης x :

4989 d thema a lik 1_1

Η δύναμη F ασκείται έως την θέση x= 5 m .

Από την θέση x = xέως την θέση x = x΄ στο κιβώτιο ασκείται μόνο η δύναμη Τολ και το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με την επίδραση της .

Το διάγραμμα συνισταμένης δύναμης ΣF – θέσης x :

4989 d thema a lik 2_1

Να σχολιάσουμε εδώ ότι η ολική μετατόπιση του κιβωτίου μέχρι αυτό να σταματήσει είναι Δxολ = 8,33 m και υπολογίζεται στο Δ5 ερώτημα , το διάγραμμα παρουσιάζεται πλήρες εδώ .

Δ2.

Η δύναμη F είναι μεταβλητή δύναμη και το έργο της υπολογίζεται από το εμβαδό της γραφικής παράστασης δύναμης F – θέσης x :

WF,1 = εμβαδό του F – x ⇒ WF,1 = ½·100·5 ⇒ WF,1 = 250 joule .

Δ3.

Θα υπολογίσουμε την ταχύτητα υ, στη θέση που η δύναμη μηδενίζεται .

Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας :

(άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού και εφαρμόζεται στο κιβώτιο από την θέση x = 0 όπου η ταχύτητα του είναι υ= 0 έως την θέση x = x1)

ΔΚ= WΣF,1 ⇒ Κ– 0 = WF,1 + WToλ,1 ⇒ Κ= WF,1 – Τολ·x⇒ Κ= 250 – 30·5 ⇒ Κ= 100 joule .

H κινητική ενέργεια του κιβωτίου είναι :

Κ= ½·m·υ1² ⇒ υ1² = 2·Κ/ m ⇒ υ1 = √(2·Κ/ m) ⇒ υ1 = √(2·100 / 8) ⇒ υ1 = 5 m / s .

Δ4.

Από την θέση x = x΄ έως την θέση x = 5 m (όπου η δύναμη καταργείται) το κιβώτιο επιβραδύνεται γιατί :

Η ΣF< 0 ⇒ ΣFαντίρροπη της ταχύτητας υ ⇒ η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη .

Η μετατόπιση όσο το κιβώτιο επιβραδύνεται είναι :

Δx = x – x΄ ⇒ Δx = 5 – 3,5 ⇒ Δx = 1,5 m .

Επέκταση της άσκησης

Δ5Ποια είναι η ολική μετατόπιση του κιβωτίου μέχρι αυτό να σταματήσει ;

Δ6Για τις θέσεις x= 3 m και x= 4 m , να βρεθούν οι επιταχύνσεις του κιβωτίου και ο στιγμιαίος ρυθμός ισχύος της F .

Λύσεις της επέκτασης

Δ5

Για x= 5 m η ταχύτητα του κιβωτίου είναι υ= 5 m / s , αμέσως μετά το κιβώτιο κινείται με την επίδραση της Tολ μέχρι να σταματήσει .

Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας :

(άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού και εφαρμόζεται στο κιβώτιο από την θέση x = x1 όπου η ταχύτητα του είναι υ1 έως την θέση που το σώμα σταματά.)

ΔΚ= WΤολ,2  0 – Κ= WToλ,2 ⇒ – ½·m·υ1² = – Τολ·Δx⇒ Δx= m·υ1² / (2·Τολ) ⇒ Δx= 8·5² / (2·30) ⇒ Δx= 10 / 3 ⇒ Δx≅ 3,33 m .

Επομένως η ολική μετατόπιση του κιβωτίου μέχρι αυτό να σταματήσει :

Δxολ = Δx+ Δx⇒ Δxολ = 5 + 3,33 ⇒ Δxολ = 8,33 m .

Δ6.

Στη θέση x= 3 m το σώμα βρίσκεται στην επιταχυνόμενη φάση της κίνησης του.

2ος νόμος του Newton :

(η ΣFx = 70 – 20·x , για x= 3 m)

ΣFx = m·α2 ⇒ α2 = ΣFx / m ⇒ α2 = (70 – 20·3) / 8 ⇒ α2 = 5 / 4 m / s² .

Θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα υστη θέση x.

H δύναμη F στη στη θέση x:

F = (100 – 20·3) N ⇒ F = 40 N .

To έργο της δύναμης F υπολογίζεται από το εμβαδό του διαγράμματος F – x μεταξύ των θέσεων x = 0 και x= 3 m :

W= εμβαδό του F – x ⇒ W= ½·(100 + 40)·3 ⇒ W= 210 joule .

To έργο της τριβής ολίσθησης Τολ :

WToλ = – Τολ·x⇒ WToλ = – Τολ·x⇒ WToλ = – 30·3 ⇒ WToλ = – 90 joule .

Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας :

(άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού και εφαρμόζεται στο κιβώτιο από την θέση x = 0 όπου η ταχύτητα του είναι υ= 0 έως την θέση x2)

ΔΚ2 = WΣF ⇒ Κ– 0 = W+ WToλ ⇒ Κ= 210 – 90 ⇒ Κ= 120 joule .

H κινητική ενέργεια του κιβωτίου είναι :

Κ= ½·m·υ2² ⇒ υ2² = 2·Κ/ m ⇒ υ2 = √(2·Κ/ m) ⇒ υ2 = √(2·30 / 8) ⇒ υ2 = √30 m / s .

Άρα η ισχύς Ρ= + F·υ⇒ Ρ= + 40·√30 j / s .

Στη θέση x= 4 m το σώμα βρίσκεται στην επιβραδυνόμενη φάση της κίνησης του.

2ος νόμος του Newton :

(η ΣFx = 70 – 20·x , για x= 4 m)

ΣFx = m·α3 ⇒ α3 = ΣFx / m ⇒ α3 = (70 – 20·4) / 8 ⇒ α3 = – 5 / 4 m / s² .

Θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα υστη θέση x.

H δύναμη F στη στη θέση x = x:

F = (100 – 20·4) N ⇒ F = 20 N .

To έργο της δύναμης F υπολογίζεται από το εμβαδό του διαγράμματος F – x μεταξύ των θέσεων x = 0 και x= 4 m :

W= εμβαδό του F – x ⇒ W= ½·(100 + 20)·4 ⇒ WF,4 = 240 joule .

To έργο της τριβής ολίσθησης Τολ :

WToλ = – Τολ·x⇒ WToλ = – Τολ·x⇒ WToλ = – 30·4 ⇒ WToλ = – 120 joule .

Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας :

(άλλη έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας που ισχύει παντού και εφαρμόζεται στο κιβώτιο από την θέση x = 0 όπου η ταχύτητα του είναι υ= 0 έως την θέση x3)

ΔΚ= WΣF ⇒ Κ– 0 = W+ WToλ ⇒ Κ= 240 – 120 ⇒ Κ= 120 joule .

H κινητική ενέργεια του κιβωτίου είναι :

Κ= ½·m·υ3² ⇒ υ3² = 2·Κ/ m ⇒ υ3 = √(2·Κ/ m) ⇒ υ3 = √(2·30 / 8) ⇒ υ3 = √30 m / s .

Άρα η ισχύς Ρ= + F·υ⇒ Ρ= + 20·√30 j / s .

Μπράβο στο συνάδελφο Κώστα Ψυλάκο , η άσκηση και η λύση της έχουν ιδιαίτερη αξία .

Επιστρέψτε στη σελίδα που διαθέτει όλα τα Δ θέματα της τράπεζας της Α λυκείου.

Advertisements

2 thoughts on “Λύσεις τράπεζας θεμάτων στην Α΄ λυκείου Δ θέμα 4989

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s