Ένα ενισχυμένο Δ θέμα στην Γ λυκείου του Μαρίνου Ηλιόπουλου

Nerve cells in brain

Να δραστηριοποιήσουμε τον εγκέφαλο . Να σκεφτούμε , να φανταστούμε και να δημιουργήσουμε .

Μια άσκηση – πρόταση για την Γ΄ λυκείου από τον φίλο , συνδιαχειριστή ,

μάχιμο εκπαιδευτικό Μαρίνο Ηλιόπουλο .

🙂 . Τον ευχαριστούμε πολύ .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

ΘΕΜΑ Δ

Η ράβδος ΑΓ του σχήματος μάζας Μ = 2 kg , μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα Ο , ο οποίος απέχει από το άκρο της Γ απόσταση d = (L / 3) = 1 m και ισορροπεί σε οριζόντια θέση .

askisi marinou c kat 1_1

Ο δίσκος έχει μάζα mΔ = 6 kg και ισορροπεί με την βοήθεια των νημάτων (1) και (2) . Ο δίσκος κρέμεται στον αέρα , δεν είναι ακλόνητα στερεωμένος .

Το νήμα (1) είναι τυλιγμένο σε εσωτερικό αυλάκι ακτίνας r = R / 2 = 0,1 m και το άλλο του άκρο δένεται στο σημείο Γ της ράβδου .

Το νήμα (2) τυλίγεται εξωτερικά στο δίσκο και δένεται κατακόρυφα σε ακλόνητη οροφή .

Το ελατήριο σταθεράς k = 200 N / m είναι στερεωμένο ακλόνητα στο πάνω άκρο του και στο κάτω άκρο του είναι δεμένο με σώμα μάζας m = 2 kg . To σώμα ισορροπεί στηριζόμενο στο άκρο Α της ράβδου , έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά y από τη θέση του φυσικού του μήκους .

Δ1. Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Α από το σώμα μάζας m .

Δ2. Να υπολογιστεί η επιμήκυνση y του ελατηρίου από τη θέση του φυσικού του μήκους .

Κόβουμε κάποια στιγμή που τη θεωρούμε t = 0 το νήμα (1) και το σύστημα παύει να ισορροπεί .

Δ3. Να δείξετε ότι η ράβδος και το σώμα μάζας m θα χάσουν την επαφή τους μόλις κοπεί το νήμα (1) .

Δ4. Να υπολογιστεί το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα μάζας m και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης θεωρώντας θετική την φορά προς τα πάνω .

Δ5. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα και η στροφορμή της ράβδου τη στιγμή που το Α βρίσκεται στην κατώτερη δυνατή θέση για πρώτη φορά .

Δ6. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας του δίσκου την χρονική στιγμή t = 3 s .

Δ7Αν από την αρχική διάταξη που είναι σε ισορροπία κοπεί το νήμα (2) και όχι το νήμα (1) να διαπιστώσετε αν διατηρηθεί ή όχι η ισορροπία με βάση των αποτελεσμάτων που βρήκατε στο ερώτημα Δ.

Δίνονται : Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνάει από το μέσο της : Ιcm,ράβδου = (1 / 12)·Μ·L² , η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο του Ιcm,δίσκου = (1 / 2)·mΔ·R² , η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m / s² .

Λύση

Δ1

askisi marinou c kat 2_1

Από την μεταφορική ισορροπία του δίσκου έχουμε :

ΣFΔ = 0 ⇒ T1΄ + T2΄ – wΔ = 0 ⇒ T1΄ + T2΄ = mΔ·g ⇒ T1΄ + T2΄ = 6·10 ⇒ T1΄ + T2΄ = 60 N … (1) .

Από την περιστροφική ισορροπία του δίσκου έχουμε :

ΣτΔ = 0 ⇒ T1΄·r – T2΄·R = 0 ⇒  T1΄·r = T2΄·2·r ⇒ T1΄ = 2·T2΄ … (2) .

H σχέση (1) με την βοήθεια της σχέσης (2) :

(1) , (2) ⇒ T1΄ + T2΄ = 60 ⇒ 2·T2΄ + T2΄ = 60 ⇒ 3·T2΄ = 60 ⇒ T2΄ = 20 Ν ,

και T1΄ = 40 Ν , T1 = T1΄ = 40 Ν .

Από την περιστροφική ισορροπία της ράβδου παίρνουμε :

Στ(Ο) = 0 ⇒ FA·(OA) + wΡ·(ΚO) – Τ1·(OΓ) = 0 ⇒

( ΑΓ = L = 3·(OΓ) = 3 m , AK = 2 m , KO = 0,5 m , OΓ = 1 m)

F= {T1·(L / 3) – M·g·[(L / 2) – (L / 3)} / (2·L / 3) ⇒ F= (40 – 20·0,5) / 2 ⇒ F= 15 N .

Δ2

askisi marinou c kat 4_1

Το σώμα μάζας m ισορροπεί :

askisi marinou c kat 5_1

ΣF= 0 ⇒ Fελ + FΑ΄ – m·g = 0 ⇒ k·y = m·g – FΑ΄ ⇒ y = (m·g – FΑ΄) / k ⇒

(FΑ΄ = FΑ δυνάμεις δράσης – αντίδρασης)

y = (20 – 15) / 200 ⇒ y = 2,5·10-2 m ⇒ y = 2,5 cm .

Δ3

Για να χαθεί η επαφή μεταξύ του άκρου Α της ράβδου και του σώματος m , όταν κόβεται το νήμα (1) πρέπει η επιτάχυνση αΑ (επιτρόχια επιτάχυνση) του σημείου Α της ράβδου να είναι μεγαλύτερη από την επιτάχυνση α του σώματος m που είναι δεμένο στο ελατήριο .

Το άκρο Α έχει την μικρότερη επιτάχυνση όταν χάνει την επαφή του με το σώμα m (τότε FΑ = 0) .

Θα βρούμε αρχικά την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου .

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής στη ράβδο :

Στ(Ο) = Ι(Ο)·αγ ⇒ wρ·(ΚΟ) = [Ιcm + M·(KO)²]·αγ ⇒ Μ·g·(L / 6) = [(1 / 12)·M·L² + M·(L / 6)²]·αγ 

Μ·g·(L / 6) = (1 / 9)·M·L²·αγ ⇒ αγ = 9·g / (6·L) ⇒ αγ = 9·10 / (6·3) ⇒ αγ = 5 rad / s².

H επιτάχυνση αΑ (επιτρόχια επιτάχυνση) του σημείου Α της ράβδου :

αΑ = αγ·(ΑΟ) ⇒ αΑ = 5·2 ⇒ αΑ = 10 m / s² .

To σώμα m δεν μπορεί να έχει επιτάχυνση α = g = 10 m / s² γιατί δέχεται την δύναμη Fελ  προς τα πάνω .

Το α < g = 10 m / s² . Επομένως τα σώματα χάνουν την επαφή τους , άρα η υπόθεση μας είναι σωστή .

(Υπολογίζουμε την επιτάχυνση για την πληρότητα της παρουσίασης)

Για την επιτάχυνση του σώματος m που είναι δεμένο στο ελατήριο έχουμε :

α = ω²·Α (το σώμα βρίσκεται στην ακραία θέση)

α = (k / m)·(Δl – y) (το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. αν χάνει την επαφή με την ράβδο)

Για το Δl : ΣF= 0 ⇒ Fελ – w = 0 ⇒ Fελ = w ⇒ k·Δl = m·g ⇒ Δl = m·g / k ⇒ Δl = 2·10 / 200 ⇒ Δl = 1 / 10 ⇒ Δl = 0,1 m .

Αν α = (k / m)·(Δl – y) ⇒ α = (200 / 2)·(10·10-2 – 2,5·10-2) ⇒ α = 7,5 m / s² .

Βλέπουμε ότι όντως α < αΑ .

Δ4

Τη χρονική στιγμή t = 0 που κόβεται το νήμα (1) το σύστημα ελατήριο – σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση .

Ισχύει : Α = Δl – y ⇒ A = 0,1 – 2,5·10-2 ⇒ A = 7,5·10-2 m .

H ταλάντωση έχει αρχική φάση φ= π / 2 rad και ω = √(k / m) ⇒ ω = √(200 / 2) ⇒ ω = 10 rad / s .

H εξίσωση ταλάντωσης :

y = 7,5·10-2·ημ [10·t + (π / 2)] (S.I.) .

Δ5.

Για να υπολογίσουμε την γωνιακή ταχύτητα όταν το σημείο Α της ράβδου βρίσκεται στην κατώτερη θέση εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας .

askisi marinou c kat 6_1

(Για τις θέσεις όπου η ράβδος είναι οριζόντια και η ράβδος είναι κατακόρυφη)

Εαρχ = Ετελ ⇒ Μ·g·(OK) = ½·I0·ω² ⇒ Μ·g·(L / 6) = ½·[(1 / 12)·M·L² + M·(L / 6)²]·ω² ⇒ Μ·g·(L / 6) = ½·(M·L² / 9)·ω² ⇒ ω = √(3·g / L) ⇒ ω = √10 rad / s .

Η στροφορμή έχει την διεύθυνση του άξονα Ο και φορά από την οθόνη (ή την σελίδα αν γίνει εκτύπωση) προς τον αναγνώστη . Το μέτρο της στροφορμής είναι L(O) = (M·L² / 9)·ω ⇒ L(Ο) = 2·√10 kg·m² / s .

Δ6.

askisi marinou c kat 7_1

dKστρ / dt = Στ·ω ⇒ dKστρ / dt = ΙΔ,cm·αγ·ω .

Εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Newton για την μεταφορική κίνηση του δίσκου :

wΔ – Τ2΄΄ = mΔ·αcm … (3) .

Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής για την κίνηση του δίσκου :

T2΄΄·R = ΙΔ,cm·αγ ⇒ T2΄΄·R = ½·mΔ·R²·αγ ⇒ T2΄΄ = ½·mΔ·αcm … (4) .

Προσθέτουμε τις (3) και (4) :

mΔ·g = (3 / 2)·mΔ·αcm ⇒ αcm = 2·g / 3 ⇒ αcm = 20 / 3 m / s² .

H σχέση μεταφορικής και περιστροφικής επιτάχυνσης είναι :

αcm = αγ·R ⇒ αγ = αcm / R ⇒ αγ = 20 / (3·R) ⇒ αγ = 100 / 3 rad / s² .

Τη χρονική στιγμή t = 3 s η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι :

ω = αγ·t ⇒ ω = (100 / 3)·3 ⇒ ω = 100 rad / s .

(dKστρ / dt)= Icm·αγ·ω ⇒ (dKστρ / dt)= ½·mΔ·R²·αγ·ω ⇒ (dKστρ / dt)= ½·6·4·10-2·(100 / 3)·100 ⇒  (dKστρ / dt)= 400 J / s .

Δ7.

askisi marinou c kat 8_1

Αν κοπεί το νήμα (2) για να μην καταστραφεί η αρχική ισορροπία του συστήματος πρέπει η τάση Τ1΄΄ του νήματος πρέπει να είναι ίσο με το Τ1΄ = 40 Ν .

Εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Newton για την μεταφορική κίνηση του δίσκου :

mΔ·g – T1΄΄ = mΔ·αcm΄ … (5) .

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής για την περιστροφική κίνηση του δίσκου :

Τ1΄΄·r = ΙΔ,cm·αγ΄ ⇒ Τ1΄΄·r = ½·mΔ·R²·αγ΄ ⇒

(ισχύει αcm΄ = αγ΄·r)

Τ1΄΄·r = ½·mΔ·R²·(αcm΄ / r) ⇒ mΔ·αcm΄ = 2·Τ1΄΄·r³ / R² … (6) .

H σχέση (5) με την βοήθεια της σχέσης (6) γίνεται :

mΔ·g – T1΄΄ = 2·Τ1΄΄·r² / R² ⇒ mΔ·g = T1΄΄ + 2·Τ1΄΄·r² / R² ⇒ mΔ·g = T1΄΄ + 2·Τ1΄΄·10-2 / (4·10-2) ⇒ mΔ·g = 3·Τ1΄΄ / 2 ⇒ Τ1΄΄ = 2·mΔ·g / 3 ⇒ Τ1΄΄ = 40 N =  Τ1΄ .

Αν κοπεί το νήμα (2) δεν καταστρέφεται η αρχική ισορροπία .

Μια όμορφη άσκηση – πρόταση από τον συνδιαχειριστή Μαρίνο Ηλιόπουλο .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

32 thoughts on “Ένα ενισχυμένο Δ θέμα στην Γ λυκείου του Μαρίνου Ηλιόπουλου

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s