Επαναληπτική Γ λυκείου Ανακύκλωση – Κρούσεις – Ελατήριο – Ράβδος

neurotransmiters scetch

Τα εγκεφαλικά κύτταρα με τους πολλούς τύπους νευροδιαβιβαστών που διεγείρουν την σκέψη , δρουν ως αγγελιοφόροι μεταξύ των νευρώνων του εγκεφάλου .

Μια άσκηση – πρόταση για την φυσική της Γ λυκείου στο μάθημα κατεύθυνσης .

Μια άσκηση επαναληπτική που σχολιάζει αρκετά σημεία της ύλης,

μια άσκηση που δημιούργησε και μας λύνει ,

ο συνάδελφος (& φίλος)

ο συνδιαχειριστής Μαρίνος Ηλιόπουλος .

Ελπίζουμε να σας φανεί χρήσιμη .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

ΘΕΜΑ Δ

Ομογενής κύλινδρος μάζας m1 = m = 200 gr και πολύ μικρής ακτίνας r μπορεί να κινηθεί σε καμπυλόγραμμη επιφάνεια που καταλήγει σε κατακόρυφο κυκλικό διάδρομο ακτίνας R = 4,8 / 11 m για την οποία ισχύει R >> r .

Δ1. Να βρεθεί το ελάχιστο ύψος hmin , από το οποίο αφήνεται ο κύλινδρος έτσι ώστε μόλις να εκτελέσει ανακύκλωση στον κατακόρυφο κυκλικό διάδρομο , κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση , διατηρώντας τον άξονα του οριζόντιο σε όλη την διαδρομή .

Μετά την ανακύκλωση ο κύλινδρος m, φτάνοντας στο κατώτερο σημείο Δ του κυκλικού διαδρόμου , εισέρχεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συναντά ελατήριο σταθεράς k που ακουμπά η άλλη άκρη του σε σφαιρικό ομογενές σώμα μάζας m= 3·m .

Ο άξονας του ελατηρίου είναι παράλληλος στο οριζόντιο επίπεδο και διέρχεται από τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων mκαι m. Ο άξονας του κυλίνδρου δεν αλλάζει προσανατολισμό.

C kat mar 2a_1

Αν η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου είναι Δl = 0,1 m και όλη η στροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου έχει μετατραπεί σε θερμότητα μέχρι εκείνη την στιγμή εξαιτίας των τριβών μεταξύ του κυλίνδρου και της κατακόρυφης επιφάνειας του ελατηρίου.

Να υπολογιστούν :

Δ2. Η σταθερά k του ελατηρίου .

Δ3Ο αριθμός των περιστροφών του κυλίνδρου μάζας m1 μέχρι να σταματήσει η περιστροφή του , αν το μέτρο της ροπής της τριβής ολίσθησης σε συνάρτηση της γωνίας στροφής θ είναι

Ττρ = θ / 400 (S.Ι.) και θ σε rad , ενώ √10 = π .

Δ4. Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων όταν το σώμα m2 αποχωρίζεται από το ελατήριο.

Στη συνέχεια το σφαιρικό σώμα μάζας m2 συναντά στην πορεία του το κάτω άκρο Ν κατακόρυφης ράβδου μάζας Μ = 0,8 kg , η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα Ο που βρίσκεται σε απόσταση ΟΝ = 2·L / 3 = 1 m από το κάτω άκρο Ν . Όπου L είναι το μήκος της ράβδου που είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με την ακτίνα της σφαίρας m2.

Δ5. Αν η κρούση της σφαίρας με τη ράβδο είναι πλαστική να βρεθεί η μέγιστη γωνία φ που σχηματίζει το σύστημα ράβδος – σφαίρα με την αρχική θέση της ράβδου .

Δίνονται : g = 10 m / s² , Icm,κυλ = ½·m·r² , Icm,ραβ = (1 / 12)·Μ·L² και 7,1 / 8 = 0,8875 , συν 27,44 = 0,8875 .

Λύση

Δ1.

Για να κάνει η μάζα m1 ανακύκλωση πρέπει στο ανώτερο σημείο Γ της κυκλικής τροχιάς η κάθετη δύναμη Ν από το διάδρομο να είναι Ν ≥ 0 .

C kat mar 2b_1

Εφαρμόζουμε τον 2° νόμο του Newton στο σώμα μάζας mστη διεύθυνση της ακτίνας στο σημείο Γ (ισχύει R >> r) :

ΣF = m1·α ⇒

H ΣF παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης ,

Ν + w = m1·α ⇒

και α = υcm² / R , η κεντρομόλος επιτάχυνση ,

Ν + w = m·(υcm² / R) ⇒ Ν = m·(υcm² / R) – m·g .

Για να εκτελέσει το σώμα μάζας m1 οριακά ανακύκλωση πρέπει Ν = 0 , επομένως :

m·(υcm² / R) – m·g = 0 ⇒ m·(υcm² / R) = m·g ⇒ υcm = √(g·R) .

Όταν το σώμα εκτελεί οριακά ανακύκλωση ο κύλινδρος αφήνεται από το ελάχιστο δυνατό ύψος hmin . (Aπό το σημείο Α) .

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας από την θέση Α στην θέση Γ :

(έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση)

ΕΑ = ΕΓ ⇒ ΚΑ + UΑ = ΚΓ + UΓ ⇒ UΑ = ΚΓ,μετ + ΚΓ,στρ + UΓ 

m·g·hmin = m·g·2·R + ½·m·υcm² + ½·Icm·ω² ⇒

m·g·hmin = m·g·2·R + ½·m·υcm² + ½·(½·m·r²)·ω² ⇒

cm = ω·r)

m·g·hmin = m·g·2·R + ½·m·υcm² + ¼·m·υcm² ⇒

g·hmin = 2·g·R + ¾·υcm² ⇒ g·hmin = 2·g·R + ¾·g·R ⇒

hmin = (11 / 4)·R ⇒ hmin = (11 / 4)·(4,8 / 11) ⇒ hmin = 1,2 m .

Δ2.

Υπολογίζουμε την ταχύτητα του κέντρου μάζας στο σημείο Δ όταν εισέρχεται στο λείο οριζόντιο επίπεδο παίρνουμε αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας από την θέση Α στη θέση Δ :

ΕΑ = ΕΔ ⇒ ΚΑ + UΑ = ΚΔ + UΔ 

(ισχύει UΔ = 0 και ΚΑ = 0)

UΑ = ΚΔ ⇒ m1·g·hmin = ½·m1·υ1² + ½·Ι1cm,κυλ·ω1² ⇒

= υcm,Δ  και ω= υ/ r)

m1·g·hmin = ½·m1·υ1² + ½·(½·m1·r²)·ω1² ⇒

m1·g·hmin = (3 / 4)·m1·υ1² ⇒

υ1² = (4 / 3)·g·hmin ⇒ υ1² = 16 ⇒ υ1 = 4 m / s .

Λίγο πριν έρθει σε επαφή με το ελατήριο ο κύλινδρος έχει ταχύτητα κέντρου μάζας υ1 = 4 m / s . H κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λίγο πριν την επαφή είναι :

Κ = Κμετ + Κστρ 

Κμετ = ½·m1·υ1² και

Κστρ = ½·Ιcm,κυλ·ω1² ⇒ Κστρ = ½·(½·m1·r²)·ω1² ⇒ Κστρ = ¼·m1·υ1² .

Όταν το ελατήριο έχει την μέγιστη συσπείρωση Δl = 0,1 m όλη η Κστρ έχει γίνει θερμότητα Q .

Άρα Q = Κστρ ⇒ Q = ¼·m1·υ1² .

C kat mar 2c_1

Για το σύστημα η ορμή διατηρείται στην οριζόντια διεύθυνση .

Η δύναμη του ελατηρίου που ασκείται στα δύο σώματα κατά την συσπείρωση του ελατηρίου, επιβραδύνει το κέντρο μάζας του κυλίνδρου mκαι επιταχύνει το σώμα mπου εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση . Η Fελ διέρχεται από το κέντρο μάζας του mκαι δεν προκαλεί ροπή στη σφαίρα mκαι το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο .

Για όσο χρόνο η ταχύτητα του mείναι μεγαλύτερη της ταχύτητας του mτα σώματα πλησιάζουν . Κάποια στιγμή τα σώματα αποκτούν ίσες ταχύτητες .

Αμέσως μετά το mέχει μικρότερη ταχύτητα από το mκαι τα σώματα απομακρύνονται . Επομένως μέγιστη συσπείρωση θα έχουμε όταν τα σώματα αποκτούν ίσες ταχύτητες υ1΄ = υ2΄ = υ΄ .

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου :

Ρολ,πριν = Ρολ,μετά ⇒ Ρ+ Ρ= Ρ1΄ + Ρ2΄ ⇒ m1·υ1 = m1·υ1΄ + m2·υ2΄ ⇒

m·υ1 = m·υ΄ + 3·m·υ΄ ⇒ υ΄ = υ1 / 4 ⇒ υ΄ = 1 m / s , (η ταχύτητα των κέντρων μάζας) .

Εφαρμόζουμε την γενικευμένη αρχή διατήρησης της ενέργειας για την αρχική και την τελική θέση .

Εαρχ = Ετελ + Q ⇒

(η κίνηση γίνεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο άρα Uβαρ = σταθερή)

Καρχ = Κτελ + Q + Uελ ⇒ (3 / 4)·m·υ1² = ½·m1·υ΄² + ½·m2·υ΄² + Q + Uελ 

η περιστροφική κίνηση στην τελική κατάσταση έχει σταματήσει ,

(3 / 4)·m1·υ1² = ½·m1·υ΄² + ½·m2·υ΄² + ¼·m1·υ1² + ½·k·Δl² ⇒

½·m·υ1² = ½·m·υ΄² + ½·3·m·υ΄² + ½·k·Δl² ⇒

m·υ1² – 4·m·υ΄² = k·Δl² ⇒ k = m·(υ1² – 4·υ΄²) / Δl² ⇒

k = 0,2·(16 – 4) / 0,01 ⇒ k = 240 N / m .

Δ3.

Η θερμότητα Q = |WTτρ| .

C kat mar 2g_1

Για να υπολογίσουμε την συνολική γωνία στροφής θ μέχρι να σταματήσει βρίσκουμε το |WTτρ| από το διάγραμμα της Ττρ = f(θ) .

C kat mar 2h_1

|WTτρ| = ½·(θ / 400)·θ ⇒ |WTτρ| = θ² / 800 joule ,

όμως |WTτρ| = Q = ¼·m1·υ1² ⇒ θ² / 800 = ¼·0,2·4² ⇒ θ² / 800 = 0,8 ⇒

θ² = 640 ⇒ θ = 8·√10 rad .

O αριθμός των περιστροφών υπολογίζεται :

θ = Ν·2π ⇒ Ν = θ / 2π ⇒ Ν = 8·√10 / 2π ⇒ Ν = 4 περιστροφές .

Δ4.

To σώμα μάζας m2 επιταχύνεται για όσο χρονικό διάστημα δέχεται δύναμη από το ελατήριο , δηλαδή για όσο χρονικό διάστημα το ελατήριο είναι συσπειρωμένο . Όταν το ελατήριο πάρει το φυσικό του μήκος , το σώμα  m2 αποχωρίζεται από το ελατήριο γιατί το ελατήριο παύει να ασκεί δυνάμεις στα σώματα. Το πίσω σώμα m1 έχει μικρότερη ταχύτητα από το m2 .

C kat mar 2d_1

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου από την θέση μέγιστης συσπείρωσης στη θέση φυσικού μήκους :

Ρολ,πριν = Ρολ,μετά ⇒ Ρ1΄ + Ρ2΄ = Ρ1΄΄ + Ρ2΄΄ ⇒

m1·υ1΄ + m2·υ2΄ = m1·υ1΄΄ + m2·υ2΄΄ ⇒

m·υ΄ + 3·m·υ΄ = m·υ1΄΄ + 3·m·υ2΄΄ ⇒

4 = υ1΄΄ + 3·υ2΄΄ ⇒ 3·υ2΄΄ = 4 – υ1΄΄ … (1) .

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης :

(τα σώματα εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση στο λείο οριζόντιο επίπεδο)

Εαρχ = Ετελ ⇒ Καρχ + Uαρχ,ελ = Κτελ + Uτελ,ελ 

½·k·Δl² + ½·m1·υ΄² + ½·m2·υ΄² = ½·m1·υ1΄΄² + ½·m2·υ2΄΄² ⇒

2,4 + 0,8 = 0,2·υ1΄΄² + 0,6·υ2΄΄² ⇒ 16 = υ1΄΄² + 3·υ2΄΄² ⇒

3·υ2΄΄² = 16 – υ1΄΄² … (2) .

Διαιρώ κατά μέλη τις σχέσεις (2) και (1) :

(2) / (1) ⇒ υ2΄΄ = 4 + υ1΄΄ ⇒ υ2΄΄ = 4 + (4 – 3·υ2΄΄) ⇒

4·υ2΄΄ = 8 ⇒ υ2΄΄ = 2 m / s .

Και

υ1΄΄ + 3·υ2΄΄ = 4 ⇒ υ1΄΄ = 4 – 3·υ2΄΄ ⇒ υ1΄΄ = 4 – 6 ⇒ υ1΄΄ = – 2 m / s .

Οι ταχύτητες υ1΄΄ και υ2΄΄ είναι αντίθετες .

Δ5.

C kat mar 2e_1

Για την πλαστική κρούση της μάζας m2 με την ράβδο ισχύει η αρχή διατήρησης στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου Ο :

Loλ,πριν = Loλ,μετα ⇒ Lm2 +  Lραβ = Lσυσ ⇒

m2·υ2΄΄·(2·L / 3) = Iσυσ·ω ,

όπου η ροπή αδράνειας του συσσωματώματος :

Iσυσ = Icm,ραβ + Μ·[(2·L / 3) – (L / 2)]² + m2·(2·L / 3)² ⇒

Iσυσ = (1 / 12)·Μ·L² + M·(L / 6)² + m2·(4 / 9)·L² ⇒

Iσυσ = M·(L² / 9) + (4 / 9)·m2·L² ⇒

Iσυσ = 0,8 / 4 + 0,6 ⇒ Iσυσ = 0,8 kg·m² .

Επομένως :

m2·υ2΄΄·(2·L / 3) = Iσυσ·ω ⇒ 1,2 = 0,8·ω ⇒ ω = 1,5 m / s .

Έστω ότι το συσσωμάτωμα σταματά στιγμιαία όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία φ .

C kat mar 2f_1

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου – ενέργειας για το σύστημα μετά την κρούση.

Κτελ – Καρχ = ΣWF ⇒ 0 – ½·Iσυσ·ω² = Ww,ραβ + Ww,m2  ⇒

½·Iσυσ·ω² = M·g·[(L / 6) – (L / 6)·συν φ] + m2·g·[(2·L / 3) – (2·L / 3)·συν φ] ⇒

½·0,8·(1,5)² = 0,8·10·(0,25 – 0,25·συν φ) + 0,6·10·(1 – συν φ) ⇒

0,4·2,25 = 8·(0,25 – 0,25·συν φ) + 6·(1 – συν φ) ⇒

0,9 – 2 – 6 = – 8·συν φ ⇒ συν φ = 7,1 / 8 ⇒

συν φ = 0,8875 ⇒ φ = 27,44° .

Ελπίζουμε η άσκηση να σας φανεί χρήσιμη .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

3 thoughts on “Επαναληπτική Γ λυκείου Ανακύκλωση – Κρούσεις – Ελατήριο – Ράβδος

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s