Επαναληπτικό θέμα Δ στη Γ λυκείου δίσκος – ελατήριο – ράβδος

Common wasp SEM

Μια σφήγκα σε μεγέθυνση x 3,5 σε μια απεικόνιση ενός ηλεκτρονικού μικροσκοπίου .

Μια Επαναληπτική άσκηση για την Γ΄ λυκείου από τον συνάδελφο , φίλο ,

συνδιαχειριστή Μαρίνο Ηλιόπουλο .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

ΘΕΜΑ Δ

Δίσκος μάζας m = 6 kg και ακτίνας R = 0,4 m , συνδέεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 900 N / m , με μηχανισμό στον άξονα του δίσκου , έτσι ώστε να μπορεί να απελευθερωθεί ο δίσκος χωρίς να διαταραχθεί η κίνηση του . Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο . Ο δίσκος στο οριζόντιο επίπεδο εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. Απομακρύνουμε τον δίσκο από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί.

Δ1Να δείξετε αν το κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντωσης .

Συσπειρώνουμε το ελατήριο κατά Δl = 0,6 m και αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί. Όταν το ελατήριο φτάνει στη θέση φυσικού μήκους , ο δίσκος απελευθερώνεται και αρχίζει να ανεβαίνει σε λεπτή και ομογενή ράβδο μάζας Μ = 9 kg , η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα Ο , ο οποίος βρίσκεται σε απόσταση ΟΛ = 2·L / 3 = 4 m , από το κάτω άκρο της ράβδου Λ . Το άκρο Λ της ράβδου ακουμπάει στο οριζόντιο επίπεδο σχηματίζοντας κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30° . Ο δίσκος κατά την κίνηση του πάνω στη ράβδο εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση.

Mar c kat 3 sx 1_1

Δ2. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου καθώς και την γωνιακή του ταχύτητα όταν ελευθερώνεται από το ελατήριο.

Δ3Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου και το μέτρο της στατικής τριβής κατά την άνοδο του πάνω στην ράβδο και εφόσον η ράβδος ισορροπεί .

Δ4Να εξετάσετε αν η ράβδος χάσει την επαφή της με το οριζόντιο επίπεδο καθώς ο δίσκος ανεβαίνει .

Δίνονται : g = 10 m / s² , Icm, δίσ = ½·m·R² .

Θεωρούμε ότι στο σημείο που ο δίσκος συναντά την ράβδο , ο δίσκος δεν αναπηδά και αλλάζει μόνο κατεύθυνση στην κίνηση του .

Λύση

Δ1.

Mar c kat 3 sx 2_1

Εφαρμόζουμε τον 2° Newton για την μεταφορική κίνηση του δίσκου :

ΣF = m·αcm ⇒ Fελ – Τστ  = m·αcm .

Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής για την περιστροφική κίνηση του δίσκου:

Στcm = Ιcm,Δ·αγων ⇒ Τστ·R = ½·m·R²·αγων 

Τστ = ½·m·R·αγων 

cm = αγων·R)

κύλιση χωρίς ολίσθηση

Τστ = ½·m·αcm ⇒ m·αcm = 2·Τστ .

Επομένως :

Fελ – Τστ  = m·αcm ⇒ Fελ – Τστ  = 2·Τστ ⇒

Τστ = Fελ  / 3 ⇒ Τστ = (k / 3)·x .

Εφαρμόζουμε τον 2° νόμο του Newton θεωρώντας θετικές τις δυνάμεις που έχουν την φορά του x :

ΣF = Τστ  – Fελ ⇒ ΣF = (k / 3)·x – k·x ⇒

ΣF = – (2·k / 3)·x .

H μορφή ΣF = – (2·k / 3)·x  είναι της μορφής ΣF = – D·x ,

άρα D = 2·k / 3 .

To κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο :

Τ = 2·π·√(m / D) ⇒ Τ = 2·π·√[3·m / (2·k)] ⇒

T = 2·π·√(18 / 1800) ⇒ T = 0,2·π s .

Δ2.

Mar c kat 3 sx 3_1

Εφαρμόζουμε αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας , ο δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση :

Εαρχ = Ετελ ⇒ ½·k·Δl² = ½·m·υcm² + ½·Icm,δισκ·ω² ⇒

k·Δl² = m·υcm² + ½·m·R²·ω² ⇒ k·Δl² = m·υcm² + ½·m·υcm² ⇒

(3 / 2)·m·υcm² = k·Δl² ⇒ υcm = √[2·k / (3·m)]·Δl ⇒

υcm = √(1800 / 18)·0,6 ⇒ υcm = 6 m / s .

Ισχύει :

υcm = ω·R ⇒ ω = υcm / R ⇒

ω = 6 / 0,4 ⇒ ω = 15 rad / s .

Δ3.

Mar c kat 3 sx 4_1

Ο δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση πάνω στη ράβδο.

2ος Newton για την μεταφορική κίνηση :

ΣF = m·αcm ⇒ Τστ  – wx = m·αcm … (1) .

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής , για την στροφική κίνηση :

– Τστ ·R = Icm, δισκ·αγων ⇒ – Τστ ·R = ½·m·R²·αγων 

ισχύει : αcm = αγων·R ,

– Τστ = ½·m·αcm … (2)

Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη :

– wx = (3 / 2)·m·αcm ⇒ – m·g·ημ φ = (3 / 2)·m·αcm ⇒

– m·g·½ = (3 / 2)·m·αcm ⇒ αcm = – g / 3 ⇒

αcm = – 10 / 3 m / s² .

Για την στατική τριβή έχουμε :

– Τστ = ½·m·αcm ⇒ Τστ = – ½·6·(- 10 / 3) ⇒

Τστ = 10 Ν , με θετική φορά προς τα πάνω .

Δ4.

Mar c kat 3 sx 5_1

Θα εξετάσουμε αν υπάρχει σημείο της ράβδου στο οποίο αν βρεθεί ο δίσκος , η ράβδος μπορεί να χάσει την επαφή της με το οριζόντιο επίπεδο .

Ένα τέτοιο σημείο αν υπάρχει προφανώς θα βρίσκεται πιο πάνω από τον άξονα Ο .

Οι δυνάμεις στη ράβδο είναι :

Ν΄ η αντίδραση της Ν = wΔ,y = m·g·συν θ ,

Τστ΄ η αντίδραση της Τστ ,

Fαξ από τον άξονα ,

Η FΛ από το οριζόντιο δάπεδο και είναι κάθετη σε αυτό , γιατί δεν υπάρχει σχετική κίνηση της ράβδου ως προς το οριζόντιο δάπεδο και το wρ = Μ·g .

Παίρνουμε την συνθήκη ισορροπίας για την στροφική κίνηση της ράβδου ως προς τον άξονα Ο .

ΣτΟ = 0 ⇒ τ + τΝ΄ + τFεξ + τ + τΤ΄στ = 0 ,

έστω ότι ο δίσκος βρίσκεται σε απόσταση d από το άκρο Λ ,

ΣτΟ = 0 ⇒ FΛ·(ΟΛ)·συν 30° + Ν΄·(d – (OΛ) – wρ·(ΟΚ)·συν 30° = 0 ⇒

FΛ·(2·L / 3)·(√3 / 3) + m·g·συν 30°·[d – (2·L / 3)] – M·g·[(2·L / 3) – (L / 2)]·(√3 / 2) = 0 ⇒

FΛ·(2·L / 3) = M·g·(L / 6) – m·g·[d – (2·L / 3)] ⇒

FΛ = (M·g / 4) – [3 / (2·L)]·m·g·[d – (2·L / 3)] .

Για να μην χαθεί η επαφή πρέπει η FΛ ≥ 0 .

Οριακά δεν χάνεται η επαφή όταν FΛ = 0 , βρίσκουμε την απόσταση d στη περίπτωση αυτή :

(M·g / 4) – [3 / (2·L)]·m·g·[d – (2·L / 3)] = 0 ⇒

M·g / 4 = [3 / (2·6)]·m·g·(d – 4) ⇒

M·g = m·g·(d – 4) ⇒ 90 = 60·(d – 4) ⇒

90 + 240 = 60·d ⇒ d = 330 / 60 ⇒ d = 5,5 m < L = 6 m .

Mar c kat 3 sx 6_1

Για να χάσει την επαφή η ράβδος πρέπει ο δίσκος να φτάσει στην απόσταση d = 5,5 m από το άκρο Λ της ράβδου και να προσπεράσει αυτό το σημείο .

Θα εξετάσουμε αν ο δίσκος φτάσει και προσπεράσει το παραπάνω σημείο .

Έστω ότι ο δίσκος ανεβαίνοντας φτάνει ως το σημείο Σ της ράβδου , όπου και σταματά στιγμιαία .

Mar c kat 3 sx 7_1

Ο δίσκος κατά την κίνηση του από την συσπείρωση του ελατηρίου Δl = 0,6 m ως το σημείο Σ της ράβδου εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση .

Από την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχουμε :

Εαρχ = Ετελ ⇒ ½·k·Δl² + m·g·R = m·g·h+ m·g·h

½·k·Δl² = m·g·S·ημ φ + m·g·R·συν φ – m·g·R ⇒

½·k·Δl² = m·g·S·(½) + m·g·R·(√3 / 2) – m·g·R ⇒

9·18 = 30·S + 12·1,73 – 24 ⇒

162 + 24 – 20,76 = 30·S ⇒

S = 165,24 / 30 ⇒ S = 5,508 m .

Επειδή S > d η ράβδος θα χάσει την επαφή με το δάπεδο .

Μια άσκηση από τον συνδιαχειριστή Μαρίνο Ηλιόπουλο .

Ελπίζουμε η άσκηση να σας φανεί χρήσιμη .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

2 thoughts on “Επαναληπτικό θέμα Δ στη Γ λυκείου δίσκος – ελατήριο – ράβδος

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s