Επαναληπτικό θέμα Δ στη Γ λυκείου Δίσκος – Νήματα – Ελατήριο

house fly with SEM 2

H μύγα σε μια απεικόνιση του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου .

Μια Επαναληπτική άσκηση για την Γ΄ λυκείου από τον συνάδελφο , φίλο ,

συνδιαχειριστή Μαρίνο Ηλιόπουλο .

Η αφιέρωση του φίλου Μαρίνου για τους μαθητές του :

Εσείς τα τυπάκια

σκιά στο σύννεφο

μα και ηλιακτίδα

που προδίδει το φως ,

Εσείς τα τυπάκια

αποτύπωμα ανάσας

μα και χνάρι

πάνω στο τζάμι ,

δάκρυ ξεχασμένης βροχής

μα και ιδρώτας καλοκαιριού

Στον καθρέφτη της ψυχής και της ζωής αγάπη να ανακλάται και να σκορπίζει στα λιβάδια της καρδιάς.

Αγάπη για τον άνθρωπο και τα όνειρα .

Να μην μείνουν όνειρα παρά δρόμος ορθής περπατησιάς και δημιουργίας .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

ΘΕΜΑ Δ

Δίσκος μάζας Μ = 4,8 kg ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30° με την βοήθεια δύο αβαρών και μη εκτατών νημάτων . Το νήμα (1) είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του δίσκου και μέσω αβαρούς τροχαλίας , στην οποία δεν υπάρχουν τριβές , συνδέεται με σώμα μάζας m το οποίο ισορροπεί κατακόρυφα .

Το νήμα (2) είναι τυλιγμένο σε αυλάκι που υπάρχει στον δίσκο σε ακτίνα  r = (2 / 3)·R = 0,2 m από το κέντρο του δίσκου , όπου R η ακτίνα του δίσκου . Το ελεύθερο άκρο του νήματος (2) συνδέεται με το ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς  k = 200 N / m  του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο .

C kat 4 mar 1_1

Τα νήματα και ο άξονας του ελατηρίου είναι παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο .

Το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά  Δl = 3·10-2 m  από την θέση φυσικού μήκους του .

Δ1. Να υπολογιστεί η μάζα του σώματος m .

Αν τη χρονική στιγμή t0 = 0 s κοπεί το νήμα (2) που συνδέει τον δίσκο με το ελατήριο , να υπολογιστούν :

Δ2. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου καθώς κατεβαίνει .

Δ3. Η στροφορμή του δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του , η ταχύτητα και η κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος μάζας m την χρονική στιγμή t1 = 2 s .

Αν από την αρχική κατάσταση ισορροπίας του συστήματος κοπεί το νήμα (1) ,

Δ4Να εξετάσετε αν το κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση .

Δίνονται g = 10 m / s² και Ιcm,Δ = ½·Μ·R² . O δίσκος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση σε όλες τις περιπτώσεις που κυλίεται .

Λύση

Δ1.

C kat 4 mar 2_1

Για τα μέτρα των δυνάμεων έχουμε :

Τ1 = Τ1΄ , η τροχαλία είναι αβαρής και δεν υπάρχουν τριβές .

Τ2 = Fελ , δυνάμεις στα άκρα αβαρούς και μη εκτατού νήματος .

Από την ισορροπία των δυνάμεων στο σώμα μάζας m έχουμε :

ΣFm = 0 ⇒

Τ1΄ – wm = 0 ⇒

Τ1΄ = m·g .

Επομένως :

Τ1 = Τ1΄ = m·g .

Από την ισορροπία των δυνάμεων στον δίσκο έχουμε :

ΣFx = 0 ⇒

wx – Τ1 – Τ2 – Τστ = 0 ⇒

Τστ = wx – Τ1 – Τ2 .

Από την ισορροπία των ροπών ως προς το κέντρο μάζας του δίσκου έχουμε :

Στcm = 0 ⇒

τ1 + τ2 + τστ = 0 ⇒

m·g·R + k·Δl·(2 / 3)·R – Tστ·R = 0 ⇒

m·g + (2 / 3)·k·Δl – Tστ = 0 ⇒

m·g + (2 / 3)·k·Δl + m·g + k·Δl – M·g·ημ φ = 0 ⇒

2·m·g + (5 / 3)·k·Δl – M·g·ημ φ = 0 ⇒

m = [M·g·ημ φ – (5 / 3)·k·Δl] / (2·g) ⇒

m = [4,8·10·½ – (5 / 3)·200·3·10-2] / (2·10) ⇒

m = 0,7 kg .

Δ2.

C kat 4 mar 3_1

Εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα για το σώμα m :

ΣFm = m·α

όπου α είναι το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος m .

T1΄΄ – wm = m·α ⇒

T1΄΄ – m·(g + α) … (1) ,

(οι δυνάμεις T1΄΄ =  T1΄΄΄ γιατί η τροχαλία είναι αβαρής και δεν παρουσιάζει τριβές με το νήμα)

Εφαρμόζουμε τον 2° νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του δίσκου :

ΣF= M·αcm ⇒

w– Tστ΄ – T1΄΄ = M·αcm ⇒

Μ·g·ημ φ  – Tστ΄ – T1΄΄ = M·αcm … (2) .

Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής για την περιστροφή του δίσκου :

Στcm = Icm·αγ ⇒

Tστ΄·R – T1΄΄·R = ½·M·R²·αγ ⇒

Tστ΄ – T1΄΄ = ½·M·R·αγ ⇒

cm = αγ·R)

Tστ΄ – T1΄΄ = ½·M·αcm … (3) .

Με πρόσθεση των σχέσεων (2) και (3) , έχουμε :

Μ·g·ημ φ – 2·T1΄΄ = (3 / 2)·Μ·αcm … (4) .

Η σχέση (4) από την σχέση (1) γίνεται :

Μ·g·ημ φ – 2·m·(g + α) = (3 / 2)·Μ·αcm ⇒

[επίσης αΑ = α  και  αΑ = αε + αcm 

αΑ = αγ·R + αcm ⇒ αΑ = 2·αcm ⇒ α = 2·αcm]

Μ·g·ημ φ – 2·m·(g + 2·αcm) = (3 / 2)·Μ·αcm ⇒

Μ·g·ημ φ – 2·m·g = 4·m·αcm + (3 / 2)·Μ·αcm ⇒

αcm = (Μ·g·ημ φ – 2·m·g) / [4·m + (3 / 2)·Μ] ⇒

αcm = (24 – 14) / (4·0,7 – 7,2) ⇒

αcm = 1 m / s² .

Δ3.

H στροφορμή του δίσκου την χρονική στιγμή t= 2 s είναι :

L = Icm·ω

L = ½·M·R²·αγ·t

L = ½·M·R·αcm·t

L = ½·4,8·3·10-1·1·2 ⇒

L = 1,44 kg·m² / s .

H ταχύτητα του σώματος m είναι :

υ= α·t

υ= 2·αcm·t

υ= 4 m / s .

H κατακόρυφη μετατόπιση του σώματος m είναι :

h = ½·α·t1² ⇒

h = ½·2·αcm·t1² ⇒

h = 4 m .

Δ4.

C kat 4 mar 4_1

Όταν το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δl΄ από την θέση φυσικού μήκους (Φ.Μ.) το σύστημα ισορροπεί .

Από την ισορροπία των δυνάμεων έχουμε :

ΣFx = 0 ⇒

wx – T – Tστ΄΄ = 0 .

(Τ = Fελ = k·Δl΄)

Από την ισορροπία των ροπών για τον δίσκο ως προς το κέντρο μάζας του έχουμε :

Στcm = 0 ⇒

Tστ΄΄·R – T·r = 0 ⇒

Tστ΄΄·R – (2 / 3)·R·T = 0 ⇒

Tστ΄΄ – (2 / 3)·T = 0 ⇒

Tστ΄΄ = (2 / 3)·T .

Από την σχέση που βρήκαμε μόλις πριν :

wx – T – Tστ΄΄ = 0 ⇒

wx – T – (2 / 3)·T ⇒

wx = (5 / 3)·T ⇒

wx = (5 / 3)·k·Δl΄΄ . Συνθήκη ισορροπίας .

C kat 4 mar 5_1

Όταν το κέντρο μάζας του δίσκου βρίσκεται σε τυχαία απομάκρυνση xcm από την θέση ισορροπίας προς τα κάτω , το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά x + Δl΄ από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου .

Η επιπλέον επιμήκυνση x του ελατηρίου είναι ίση με το άθροισμα του μήκους του νήματος που έχει τυλιχθεί και την απομάκρυνση του κέντρου μάζας xcm .

x = lθ + xcm ⇒

x = r·θ + xcm ⇒

x = (2 / 3)·R·θ + xcm ⇒

x = (2 / 3)·xcm + xcm ⇒

x = (5 / 3)·xcm .

Από τον 2° νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση , έχουμε :

ΣFx = Μ·αcm ⇒

wx – Tστ΄΄΄ – Τ΄ = Μ·αcm .

Από τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής για την περιστροφική κίνηση , έχουμε :

Στcm = Ιcm·αγ ⇒

Tστ΄΄΄·R – T΄·r = ½·M·R²·αγ ⇒

Tστ΄΄΄ – (2 / 3)·T΄ = ½·Μ·αcm ⇒

Μ·αcm = 2·Tστ΄΄΄ – (4 / 3)·Τ΄ .

Η σχέση wx – Tστ΄΄΄ – Τ΄ = Μ·αcm  γίνεται :

wx – Tστ΄΄΄ – Τ΄ = 2·Tστ΄΄΄ – (4 / 3)·Τ΄ .

wx – Τ΄ + (4 / 3)·Τ΄ = 3·Tστ΄΄΄ ⇒

Tστ΄΄΄ = (wx / 3) + (Τ΄ / 9) ⇒

Υπολογίζουμε την συνισταμένη δύναμη θεωρώντας θετικές τις δυνάμεις που έχουν φορά την φορά του x και το xcm :

ΣFcm = wx – Tστ΄΄΄ – T΄ ⇒

ΣFcm = wx – (wx / 3) + (Τ΄ / 9) – Τ΄ ⇒

ΣFcm = (2·wx / 3) – (10·Τ΄ / 9) ⇒

[Τ΄ = k·(Δl΄ + x)]

ΣFcm = (2 / 3)·(5 / 3)·k·Δl΄ – (10 / 9)·k·(Δl΄ + x) ⇒

ΣFcm = (2 / 3)·(5 / 3)·k·Δl΄ – (10 / 9)·k·Δl΄ – (10 / 9)·k·x ⇒

ΣFcm = – (10 / 9)·k·(5 / 3)·xcm ⇒

ΣFcm = – (50 / 27)·k·xcm .

To κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά

D = (50 / 27)·k .

Μια άσκηση από τον συνδιαχειριστή Μαρίνο Ηλιόπουλο .

Ελπίζουμε η άσκηση να σας φανεί χρήσιμη .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

2 thoughts on “Επαναληπτικό θέμα Δ στη Γ λυκείου Δίσκος – Νήματα – Ελατήριο

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s