Υπολογισμός της αρχικής φάσης σε μια απλή αρμονική ταλάντωση ΙΙ

simple pendalum

Το εκκρεμές .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Δείτε και αυτό

Άσκηση αρχικής φάσης 2

Ένα σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση . Αν :

α. Για t= 0 s , το σώμα m έχει ταχύτητα υ = + υmax και κινείται προς την θέση x = + A ,

β. Για t= 0 s , το σώμα m έχει ταχύτητα υ = + υmax / 2 και κινείται στον αρνητικό ημιάξονα προς την θέση x = + A ,

γ. Για t= 0 s , το σώμα m έχει ταχύτητα υ = + υmax·√3 / 2 βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα και κινείται προς την θέση x = + A ,

δ. Για t= 0 s , το σώμα m έχει ταχύτητα υ = – υmax·√2 / 2 και κινείται προς την θέση x = – A ,

να υπολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις .

Λύση

To σώμα εκτελεί απλή αρμονική αρμονική ταλάντωση , άρα η εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο είναι :

υ = υmax·συν (ω·t + φ0) .

α.

Για t= 0 s , η ταχύτητα του σώματος m είναι  υ = + υmax  :

+ υmax = υmax·συν (ω·0 + φ0) ⇒

συν φ= 1 ⇒

συν φ= συν 0 ⇒

φ= 2·κ·π ± 0

κ = 0 ,

φ= 0 rad .

η κ = 1 δίνει φ= 2·π , που απορρίπτεται .

Δεκτή η λύση φ= 0 rad γιατί το σώμα την χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας , όπου η ταχύτητα του είναι μέγιστη και η αρχική φάση παίρνει τιμές :

0 ≤ φ< 2·π .

β.

Για t= 0 s , η ταχύτητα του σώματος m είναι  υ = + υmax / 2 :

+ υmax / 2 = υmax·συν (ω·0 + φ0) ⇒

συν φ= 1 / 2 ⇒

συν φ= συν (π / 3) ⇒

φ= 2·κ·π ± (π / 3)

κ = 0 ,

φ= π / 3 rad ή φ= – π / 3 rad , απορρίπτεται γιατί η αρχική φάση παίρνει τιμές 0 ≤ φ< 2·π .

κ = 1 ,

φ= 2π + π / 3 rad (απορρίπτεται)

ή φ= 2π – π / 3 rad ⇒ φ= 5·π / 3 .

Για φ= π / 3 rad , x = A·ημ (π / 3) > 0 , δεν είναι η λύση που θέλουμε ,

Για φ= 5·π / 3 rad , x = A·ημ (5·π / 3) < 0 , είναι η λύση που θέλουμε γιατί στην εκφώνηση δίνεται ότι το σώμα m κινείται στον αρνητικό ημιάξονα .

γ.

Για t= 0 s , η ταχύτητα του σώματος m είναι  υ = + υmax·√3 /2 :

+ υmax·√3 / 2 = υmax·συν (ω·0 + φ0) ⇒

συν φ= √3 / 2 ⇒

συν φ= συν (π / 6) ⇒

φ= 2·κ·π ± (π / 6)

κ = 0 ,

φ= π / 6 rad ή φ= – π / 6 rad .

για κ = 1 ,

φ= 2·π + π / 6 rad (απορρίπτεται) ή φ= 2·π – π / 6 rad = 11·π / 6 rad όπου υ < 0 .

Δεκτή η λύση φ= π / 6 rad γιατί η υ > 0 .

δ.

Για t= 0 s , η ταχύτητα του σώματος m είναι  υ = – υmax·√2 /2 :

– υmax·√2 / 2 = υmax·συν (ω·0 + φ0) ⇒

συν φ= – √2 / 2 ⇒

συν φ= – συν (π / 4) ⇒

συν φ= συν [π + (π / 4)] ⇒

φ= 2·κ·π ± (5·π / 4)

κ = 0 ,

φ= 5·π / 4 rad ή φ= – 5·π / 4 rad (απορρίπτεται)

κ = 1 ,

φ= 2·π + (5·π / 4) rad (απορρίπτεται) ή φ= 2·π – (5·π / 4) rad = 3·π / 4 rad όπου υ < 0

Δεκτή η λύση φ= 5·π / 4 rad .

Σχόλια :

1. Συνεχίζουμε να αντιμετωπίζουμε τριγωνομετρικά την λύση των εφαρμογών που παρουσιάζουμε .

2. Βλέπουμε ότι και να δοθεί η ταχύτητα για τον χρόνο  t= 0 s , έχουμε την επίλυση της εξίσωσης του συνημιτόνου (αντί του ημίτονου στην εξίσωση της απομάκρυνσης) .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

3 thoughts on “Υπολογισμός της αρχικής φάσης σε μια απλή αρμονική ταλάντωση ΙΙ

  1. Πολυ ωραία δουλεια πανω στην αρχική φαση, πιστεύω όμως οτι η επίλυσή πανω στο τριγωνομετρικό κυκλο με άξονα της θέσης τον άξονα ημιτόνων και για άξονα ταχυτητας των συνημιτόνων, είναι πιο εποπτική και βοηθάει καλυτερα στη κατανόηση των μαθητων

    Αρέσει σε 1 άτομο

  2. Η επιλογή της τριγωνομετρίας , έγινε :
    α. σε πρώτη επαφή είναι ευκολότερη ,
    β. χρειάζεται και στο επόμενο κεφάλαιο ,
    γ. θα διδαχτούν αρχική φάση στο σχολείο .

    Μπορείς να μας δώσεις , αν θες εσύ τον τρόπο που περιγράφεις .
    Πρόθυμος να τον δημοσιεύσω .

    Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια , αλλά δεν είναι τίποτα το ιδιαίτερο .
    Είναι απλό το θέμα , σταδιακά θα πάμε σε ενδιαφέροντα .

    Μου αρέσει!

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s