Υπολογισμός του χρόνου στις εξισώσεις κίνησης ΙΙ

Tick adult SEM

Μια απεικόνιση του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου , ενήλικο tick .

Μια άσκηση του Μαρίνου Ηλιόπουλου

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Δείτε και αυτό

Υπολογισμός του χρόνου στις εξισώσεις κίνησης 2

Δίνεται το παρακάτω διάγραμμα α = f (t) , επιτάχυνσης – χρόνου για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,2 m.

c xronos tal 2 sxima 1_1

α. Να βρεθεί η αρχική φάση και η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης .

β. Να συμπληρωθεί το διάγραμμα και να γραφεί η εξίσωση της επιτάχυνσης σε σχέση με τον χρόνο .

γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας και να γίνει το διάγραμμα της σε σχέση με τον χρόνο για την πρώτη περίοδο της ταλάντωσης του σώματος .

Λύση

α.

Την χρονική στιγμή t = 0 s , α = αmax·(√3 / 2) επίσης το σώμα κινείται προς την θέση που έχει α = αmax δηλαδή προς την θέση x = – A . Άρα την χρονική στιγμή t = 0 s το σώμα έχει αρνητική απομάκρυνση και αρνητική ταχύτητα .

Η γενική εξίσωση της επιτάχυνσης με τον χρόνο :

α = – αmax·ημ (ω·t + φ0) ⇒

αmax·(√3 / 2) = – αmax·ημ φ0 ⇒

ημ φ0 = – (√3 / 2) ⇒

φ0 = 2·κ·π + π + (π / 3) και φ0 = 2·κ·π – (π / 3)

η πρώτη εξίσωση για κ = 0 δίνει φ0 = (4·π / 3) rad , ενώ η δεύτερη εξίσωση για κ = 1 δίνει φ0 = (5·π / 3) rad , επειδή θέλουμε και συν φ0 < 0 γιατί υ < 0 , αποδεκτή λύση είναι η  φ0 = (4·π / 3) rad .

Από το διάγραμμα διαπιστώνουμε ότι την χρονική στιγμή t = π / 3 s , μηδενίζεται η επιτάχυνση για πρώτη φορά :

α = – αmax·ημ (ω·t + φ0) , για t = π / 3 s έχουμε :

0 =  – αmax·ημ [ω·(π / 3) + (4·π / 3)] ,επομένως

ω·(π / 3) + (4·π / 3) = κ·π ⇒

ω·(π / 3) =  κ·π – (4·π / 3) .

πρέπει ω > 0 (για πρώτη φορά) όταν κ = 2 :

ω·(π / 3) = 2·π – (4·π / 3) ⇒

ω·(π / 3) = (6·π / 3) – (4·π / 3) ⇒

ω·(π / 3) = 2·π / 3 ⇒

ω = 2 rad / s .

H γωνιακή συχνότητα είναι :

ω = 2·π / Τ ⇒

Τ = 2·π / ω ⇒

Τ = 2·π / 2 ⇒

Τ = π s .

β. 

Η χρονική στιγμή tείναι :

t= (π / 3) + (Τ / 2) ⇒

t= (π / 3) + (π / 2) ⇒

t= (5·π / 6) s .

Η χρονική στιγμή tείναι :

t= (π / 3) + Τ ⇒

t= (π / 3) + π ⇒

t= 4·π / 3 s .

H μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης :

αmax = ω²·Α ⇒

αmax = 2²·0,2 ⇒

αmax = 0,8 m / s² .

H εξίσωση της επιτάχυνσης με τον χρόνο είναι :

α = – 0,8·ημ [2·t + (4·π / 3)] , (S.I.) .

γ.

H εξίσωση της ταχύτητας με τον χρόνο είναι :

υ = ω·Α·συν (ω·t + φ0)

υ = 2·0,2·συν [2·t + (4·π / 3)] , (S.I.) .

για t = 0 ,

υ = 0,4·συν (4·π / 3) ⇒

όπου συν (4·π / 3) = – ½ ,

υ = – 0,2 m / s .

Βρίσκουμε τις πρώτες χρονικές στιγμές που μηδενίζεται η ταχύτητα :

υ = 0,4·συν [2·t + (4·π / 3)] , για υ = 0 :

συν [2·t + (4·π / 3)] = 0 ⇒

2·t + (4·π / 3) = κ·π + (π / 2) ⇒

2·t = κ·π + (π / 2) – (4·π / 3) ⇒

2·t = κ·π – (5·π / 6) ⇒

t = (κ·π / 2) – (5·π / 6) , για κ = 0 η λύση απορρίπτεται ,

για κ = 1 : t1΄ = π / 12 s .

Και οι επόμενες είναι :

t2΄ = t1΄ + (Τ / 2) ⇒

t2΄ = (π / 12) + (π / 2) ⇒

t2΄ = (7·π / 12) s .

Επίσης ισχύει :

t3΄ = t1΄ + Τ ⇒

t3΄ = (π / 12) + π ⇒

t3΄ = (13·π / 12) s .

To διάγραμμα της ταχύτητας με τον χρόνο , δίνεται στο παρακάτω σχήμα :

c xronos tal 2 sxima 2_1

Σχόλια :

Η άσκηση υπολογίζει τον χρόνο σε μια τριγωνομετρική εξίσωση , είναι απαραίτητη , ενδιαφέρουσα και έχει στοιχεία που είδαμε στις προηγούμενες ασκήσεις .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Υπολογισμός του χρόνου στις εξισώσεις κίνησης ΙΙ

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s