Υπολογισμός του χρόνου στις εξισώσεις κίνησης Ι

arstists rainbow

Το ουράνιο τόξο για τον καλλιτέχνη – δημιουργό .

Μια άσκηση του Μαρίνου Ηλιόπουλου

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Δείτε και αυτό

Υπολογισμός του χρόνου στις εξισώσεις κίνησης 1

Στο σχήμα δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας υ – χρόνου t για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,2 m .

c xronos tal sxima 1_1

α. Να προσδιοριστεί η αρχική φάση και να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας .

β. Να προσδιοριστούν οι χρονικές στιγμές t1 και t2 .

γ. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης και να γίνει η γραφική της παράσταση με τον χρόνο .

Λύση

α.

Η γενική μορφή της εξίσωσης της ταχύτητας με τον χρόνο στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι :

υ = υmax·συν (ω·t + φ0) .

Για t = 0 από τις τιμές που δίνονται στο διάγραμμα , έχουμε :

– 0,2 = 0,4·συν φ0 ⇒

συν φ0 = – ½ .

Το σώμα έχει αρνητική ταχύτητα και κινείται προς την θέση όπου υ = – υmax , δηλαδή προς την θέση ισορροπίας .

Επομένως η απομάκρυνση είναι θετική , άρα ημ φ0 > 0 .

συν φ0 = – ½ , άρα :

φ0 = 2·κ·π + π ± (π / 3) ,

για κ = 0 , έχουμε :

φ0 = (2·π / 3) rad  και   φ0 = (4·π / 3) rad .

Πρέπει :

ημ φ0 > 0 οπότε αποδεκτή η φ0 = (2·π / 3) rad .

υ = 0,4·συν [ω·t + (2·π / 3)] .

Προσδιορισμός του ω :

υmax = ω·Α ⇒

ω = υmax / Α ⇒

ω = 0,4 / 0,2 ⇒

ω = 2 rad / s .

υ = 0,4·συν [2·t + (2·π / 3)] .

β.

Τις χρονικές στιγμές t1 και t2 μηδενίζεται η ταχύτητα :

υ = 0,4·συν [2·t + (2·π / 3)]  για

υ = 0 ⇒

συν [2·t + (2·π / 3)] = 0 ⇒

2·t + (2·π / 3) = κ·π + (π / 2) ⇒

2·t = κ·π + (π / 2) – (2·π / 3) ⇒

t = κ·π / 2 + (π / 4) – (2·π / 6) ⇒

t = κ·π / 2 + (π / 4) – (2·π / 6) ⇒

t = κ·π / 2 – (π / 12) ,

για κ = 0 η λύση απορρίπτεται ,

για κ = 1 :

t1 = (π / 2) – (π / 12) ⇒

t1 = 5·π / 12 s ,

για κ = 2 :

t2 = π – (π / 12) ⇒

t2 = 11·π / 12 s .

γ.

x = A·ημ (ω·t + φ0) ⇒

x = 0,2·ημ [2·t + (2·π / 3)] ,

για t = 0 προσδιορίζουμε το x :

x = 0,2·ημ (2·π / 3) ⇒

x = 0,2·ημ [π – (π / 3)] ⇒

x = 0,2·(√3 / 2) ⇒

x = 0,1·√3 m .

Προσδιορίζουμε τις πρώτες τιμές που μηδενίζεται το x .

x = 0,2·ημ [2·t + (2·π / 3)]  για x = 0 :

ημ [2·t + (2·π / 3)] = 0 επομένως :

2·t + (2·π / 3) = κ·π ⇒

2·t = κ·π – (2·π / 3) ⇒

t = (κ·π / 2) – (2·π / 6) , για κ = 0 , t < 0 απορρίπτεται .

για κ = 1 ,

t1΄ = (π / 2) – (2·π / 6) ⇒

t1΄ = π / 6 s .

t2΄ = t1΄ + (Τ / 2) ⇒

t2΄ = (π / 6) + [2·π / (2·ω)] ⇒

t2΄ = (π / 6) + (π / 2) ⇒

t2΄ = 4·π / 6 ⇒

t2΄ = 2·π / 3 s  και  t3΄ = 7·π / 6 s .

c xronos tal sxima 2_1

Σχόλια :

Η άσκηση υπολογίζει τον χρόνο σε μια τριγωνομετρική εξίσωση , είναι απαραίτητη , ενδιαφέρουσα και έχει στοιχεία που είδαμε στις προηγούμενες ασκήσεις .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Υπολογισμός του χρόνου στις εξισώσεις κίνησης Ι

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s