Ένα κατακόρυφο ελατήριο και μια κατακόρυφη δύναμη

sunset in the sea

Ηλιοβασίλεμα στη καλοκαιρινή θάλασσα .

Μια άσκηση του Μαρίνου Ηλιόπουλου .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Δείτε και αυτό

Ένα κατακόρυφο ελατήριο και μια κατακόρυφη δύναμη

Στο κάτω μέρος κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N / m , ισορροπεί δεμένο σώμα μάζας m = 1 kg . Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο .

Ασκούμε στο σώμα κατακόρυφη δύναμη προς τα κάτω που η τιμή της δίνεται από την σχέση :

F = 60 – 200·y  (S.I.) , όπου y η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του .

Την χρονική στιγμή που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα προς τα κάτω , παύει να ασκείται η δύναμη F . Την στιγμή αυτή την θεωρούμε t0 = 0 για την ταλάντωση του σώματος μετά την κατάργηση της δύναμης F .

α. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου όταν καταργείται η F .

β. Να υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μετά την κατάργηση της δύναμης .

γ. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης .

δ. Να υπολογιστεί η ταχύτητα την στιγμή που καταργείται η δύναμη F .

Θεωρείστε θετική φορά προς τα κάτω και δίνεται g = 10 m / s² .

Λύση

α.

C kat 1 katak elat  1 katak din sxima 1_1

Όταν το σώμα αποκτά την μέγιστη ταχύτητα πρέπει :

ΣFy = 0 ⇒

Fελ΄ – F – w = 0 ⇒

k·(Δl + y) = 60 – 200·y + m·g … (1) .

Από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος , έχουμε :

ΣFy = 0 ⇒

Fελ – w = 0 ⇒

k·Δl – m·g = 0 ⇒

k·Δl = m·g ⇒

Δl = m·g / k ⇒

Δl = 1·10 / 100 ⇒

Δl = 0,1 m .

Επομένως η (1) σχέση γίνεται :

100·(0,1 + y) = 60 – 200·y + 10 ⇒

10 + 100·y = 60 – 200·y + 10 ⇒

100·y = 60 – 200·y ⇒

300·y = 60 ⇒

y = 0,2 m .

Άρα :

|Fελ΄| = k·|(Δl + y)| ⇒

|Fελ΄| = 100·0,3 ⇒

|Fελ΄| = 30 N .

β.

Η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος μετά την κατάργηση της F είναι ίση με το έργο της F .

E = WF, o → y = 0,2 

½·k·A² = WF, o → y = 0,2 

Υπολογίζουμε το έργο της F (WF) με το διάγραμμα F = f(y)

C kat 1 katak elat  1 katak din sxima 2_1

WF = Eμβ(τραπεζίου) ⇒

WF = (60 + 20)·0,2 / 2 ⇒

WF = 8 joule .

Επομένως :

Ε = ½·k·A² ⇒

½·100·A² = 8 ⇒

A² = 0,16 ⇒

A = 0,4 m .

γ.

Την χρονική στιγμή t0 = 0 (που καταργείται η F) το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση y = 0,2 m και έχει θετική ταχύτητα (αφού η θετική φορά είναι προς τα κάτω)

y = A·ημ(ω·t + φ0) , για  t0 = 0 ⇒

0,2 = 0,4·ημ φ0 ⇒

ημ φ0 = ½ ⇒

ημ φ0 = ημ (π / 6) ⇒

φ0 = 2·κ·π + (π / 6) ή φ0 = 2·κ·π +π – (π / 6)

Από την πρώτη εξίσωση και για κ = 0 παίρνουμε την αποδεκτή λύση φ0 = π / 6 rad .

Άρα :

y = 0,4·ημ [10·t + (π / 6)]  (S.I.)

όπου ω = √(k / m) = 10 rad / s .

δ.

Για την χρονική στιγμή t0 = 0 παίρνουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας στις μηχανικές ταλαντώσεις για να υπολογίσουμε την ταχύτητα όταν καταργείται η δύναμη :

Ε = Κ + U ⇒

½·k·A² = ½·m·υ² + ½·k·y² ⇒

υ = √[(k·A² – k·y²) / m] ⇒

υ = √[(100·(0,4² – 0,2²)] ⇒

υ = √(100·0,12) ⇒

υ = √12 ⇒

υ = √(3·4) ⇒

υ = 2·√3 m / s .

Σχόλιο :

Μια άσκηση που συνδυάζει το κατακόρυφο ελατήριο με μια κατακόρυφη δύναμη , μια άσκηση ενδιαφέρουσα .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

3 thoughts on “Ένα κατακόρυφο ελατήριο και μια κατακόρυφη δύναμη

  1. θα μπορουσα στο β ερωτημα να χρησιμοποιησω umax=ωA?και θα εβρισκα την umax=2 και μετα θα χρησιμοποιυσα την Α.Δ.ΕΝ.ΤΑΛ. με μετατοπιση y=0,2?(το αποτέλεσμα βγαινει ιδιο αλλα δεν είμαι σιγουρη για τον τροπο!)

    Αρέσει σε 1 άτομο

    • Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι:

      Kmax = (1./ 2)·m·υmax^2 = E ⇒

      (1./ 2) m υmax^2 = (1./ 2) k Α^2 ⇒

      υmax = A·√(k / m) ⇒

      υmax = 4 m / s .

      H υmax είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης
      μετά την κατάργηση της μεταβλητής δύναμης.

      Μπορούμε ακόμα να υπολογίσουμε την υ με
      το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας:

      ΔΚ = WFελ + Ww + WF ⇒

      (για y = 0 (Θ.Ι.) έως y = 0,2 m)

      (1 / 2)·m·υ^2 = (1 / 2)·k·Δl^2 – (1 / 2)·k·(Δl + y)^2 + m·g·y + WF ⇒

      (το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογίζεται
      από την γραφική παράσταση F – y , WF = 8 joule)

      (1 / 2)·υ^2 = (1 / 2)·100υ·0,01 – (1 / 2)·100·0,09 + 2 + 8 ⇒

      υ^2 = 12 ⇒ υ = √12 ⇒ υ = 2·√3 m / s .

      (αυτή θα μπορούσε να είναι η απάντηση και στο δ ερώτημα)

      Η υmax της ταλάντωσης είναι 4 m / s και
      η μέγιστη ταχύτητα όταν παύει η δύναμη είναι 2·√3 m / s.

      Υπολογισμός του πλάτους Α με την αρχή διατήρησης της ενέργειας ταλάντωσης :

      (1 / 2)·k·A^2 = (1 / 2)·k·y^2 + (1 / 2)·m·υ^2 ⇒

      Α^2 = y^2 + (m / k)·υ^2 ⇒

      Α^2 = 0,04 + 0,12 ⇒

      A = 0,4 m .

      Η Χριστίνα βγάζει με λάθος τρόπο ένα σωστό αποτέλεσμα.

      Μια απάντηση με διάφορες λύσεις από τον Μαρίνο Ηλιόπουλο.

      Μου αρέσει!

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s