Η μπίλια και το δακτυλίδι εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση

a summer field

Μια καλοκαιρινή μέρα στην εξοχή , με τα σύννεφα να σκουραίνουν ..

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς και λύνει ο Μαρίνος Ηλιόπουλος .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Δείτε και αυτό

Η μπίλια και το δακτυλίδι εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση

Μία μικρή μπίλια εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση µε το κέντρο της πάνω στον άξονα x΄x και η απομάκρυνσή της από τη θέση ισορροπίας συναρτήσει του χρόνου δίνεται από την εξίσωση x1 = 0,1∙ηµ [π∙(t / 2)] . Ένα δακτυλίδι έχει διάμετρο μεγαλύτερη από τη διάμετρο της μπίλιας και κινείται µε το κέντρο του πάνω στον άξονα x΄x και µε το επίπεδό του κάθετο σε αυτόν. Το δακτυλίδι εκτελεί και αυτό απλή αρμονική ταλάντωση , χωρίς αρχική φάση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας µε τη μπίλια, µε ίδιο πλάτος και περίοδο 50% μεγαλύτερη. Να βρεθούν :

α. Η απομάκρυνση του δακτυλιδιού από τη θέση ισορροπίας συναρτήσει του χρόνου ,

β. Το μέτρο της ταχύτητας της μπίλιας όταν αυτή περνά από τη θέση ισορροπίας ,

γ. Η επιτάχυνση του δακτυλιδιού όταν αυτό περνά από τη θέση ισορροπίας ,

δ. Οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η μπίλια περνά μέσα από το δακτυλίδι ,

ε. Οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η μπίλια περνά μέσα από το δακτυλίδι στη θέση ισορροπίας .

Λύση

α.

Η απομάκρυνση του δακτυλιδιού είναι :

x= 0,1·ημ (ωΔ·t) ,

υπολογισμός του ωΔ για το δακτυλίδι :

ΤΔ = ΤΜ + 0,5·ΤΜ , ΤΔ : η περίοδος του δακτυλιδιού , ΤΜ : η περίοδος της μπίλιας .

Ισχύει :

ωΜ = 2·π / ΤΜ ⇒

ΤΜ = 2·π / ωΜ ⇒

ΤΜ = 2·π / (π / 2) ⇒

ΤΜ = 4 s .

Επομένως :

ΤΔ = ΤΜ + 0,5·ΤΜ ⇒

ΤΔ = 4 + 2 ⇒

ΤΔ = 6 s .

Ισχύει :

ωΔ = 2·π / ΤΔ ⇒

ωΔ = 2·π / 6 ⇒

ωΔ = π / 3 rad .

Επομένως :

x= 0,1·ημ [(π / 3)·t] , (S.I.) .

β.

Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης :

υΜ,max = ωΜ·Α ⇒

υΜ,max = (π / 2)·0,1 ⇒

υΜ,max = 0,05·π m / s .

γ.

Η σχέση της επιτάχυνσης και της απομάκρυνσης :

αΔ = – ωΔ²·x , όταν x = 0 τότε αΔ = 0 (βρισκόμαστε στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης)

δ.

Για να περνάει η μπίλια μέσα από το δακτυλίδι πρέπει να έχουν και τα δύο την ίδια απομάκρυνση :

x1 = x

0,1·ημ [(π / 2)·t] = 0,1·ημ [(π / 3)·t] ⇒

ημ [(π / 2)·t] = ημ [(π / 3)·t] ⇒

(π / 2)·t = 2·κ·π + (π / 3)·t … (1)  και

(π / 2)·t = 2·κ·π + π – (π / 3)·t … (2)

Από την εξίσωση (1) έχουμε :

[(π / 2) – (π / 3)]·t = 2·κ·π ⇒

(π / 6)·t =  2·κ·π ⇒

t = 12·κ  s .

Από την εξίσωση (2) έχουμε :

(π / 2)·t = (2·κ + 1)·π – (π / 3)·t ⇒

(π / 2)·t + (π / 3)·t = (2·κ + 1)·π ⇒

(5 / 6)·t = (2·κ + 1) ⇒

t = (2·κ + 1)·(6 / 5) .

ε.

Πρέπει να ισχύει :

ημ [(π / 2)·t = 0 , στη θέση ισορροπίας , άρα

(π / 2)·t = κ1·π … (3) .

Επίσης :

ημ [(π / 3)·t = 0 , στη θέση ισορροπίας , άρα

(π / 3)·t = κ2·π … (4) .

Για  τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων φ1 – φ2 έχουμε :

Αφαιρούμε τις εξισώσεις (3) και (4) κατά μέλη :

(π / 2)·t – (π / 3)·t  = κ1·π – κ2·π ⇒

(π / 6)·t = (κ1 – κ2)·π ⇒

θέτουμε κ = κ1 – κ2 , άρα

(π / 6)·t = κ·π ⇒

t = 6·κ  s .

Σχόλιο :

Μια άσκηση πρωτότυπη , μια άσκηση ενδιαφέρουσα .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Η μπίλια και το δακτυλίδι εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s