Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις ΙΙΙ

tress in north summer day

To δάσος στο καλοκαίρι του βορρά .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις ΙΙΙ

Το πλάτος μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης δίνεται από την σχέση At = A0·eΛ·t , όπου A0 είναι το αρχικό πλάτος και Λ σταθερή ποσότητα.

α. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους της ταλάντωσης είναι σταθερός ,

β. Μετά από Ν= 18 πλήρεις ταλαντώσεις , που διαρκούν t= 13,86 s το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με Α/ 2 . Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης , όταν γίνουν ακόμα Ν= 72 πλήρεις ταλαντώσεις .

Θεωρήστε το αρχικό πλάτος A0 γνωστό .

Λύση

α.

Δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους της ταλάντωσης :

Ακ = A0·e– Λ·, t = κ·Τ , άρα Ακ = A0·e– Λ·κ·Τ .

Ακ+1 = A0·e– Λ·t΄ , t΄ = (κ + 1)·Τ , άρα Ακ+1 = A0·e– Λ·(κ + 1)·Τ .

Ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους της ταλάντωσης :

Ακ / Ακ+1 = (A0·e– Λ·κ·Τ) / (A0·e– Λ·(κ + 1)·Τ) ⇒

Ακ / Ακ+1 = (e– Λ·κ·Τ) / (e– Λ·(κ + 1)·Τ) ⇒

Ακ / Ακ+1 = e– Λ·κ·Τ Λ·(κ + 1)·Τ ⇒

Ακ / Ακ+1 = e– Λ·κ·Τ Λ·κ·Τ + Λ·Τ ⇒

Ακ / Ακ+1 =  e+ Λ·Τ ,

β.

Το πλάτος δίνεται :

Ακ = A0·e– Λ·,

για t= Ν1·Τ ⇒

Τ = t/ Ν

Τ = 13,86 / 18 s .

Ισχύει :

A/ 2 = A0·e– Λ·t

eΛ·t= 2 ⇒

ln eΛ·t= ln 2 ⇒

Λ·t= ln 2 ⇒

Λ = ln 2 / t.

Όταν γίνουν ακόμα Ν= 72 πλήρεις ταλαντώσεις , θα έχουμε συνολικά :

Ν2 = Ν+ Ν

Ν2 = 18 + 72 ⇒

Ν2 = 90 ταλαντώσεις .

Ο χρόνος θα είναι :

t2 = Ν2·T .

Το πλάτος θα είναι :

Α2 = A0·e– Λ·t

Α2 = A0·e– Λ·N2·

Α2 = A0·e– (ln 2 / t1)·90·(13,86 / 18) 

Α2 = A0·e– (ln 2 / t1)·90·(13,86 / 18) 

Α2 = A0·e– (ln 2 / 13,86)·90·(13,86 / 18) 

Α2 = A0·e– ln 2·(90 / 18) 

Α2 = A0·e– 5·ln 2 

Α2 = A/ (e ln 2)

Α2 = A/ 2

Α2 = A/ 32 .

Σχόλιο : Μια άσκηση  που έχει διδακτικά ενδιαφέρον .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

3 thoughts on “Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις ΙΙΙ

  1. Συγχαρητήρια για την εργασία σας , μια πρόταση : θα προτιμούσα τη εκφώνηση με άγνωστη τη χρονική στιγμή t1 , εξάλλου και χωρίς αυτό μπορείς να καταλήξεις στο ότι το Α90 είναι Αο / 32 , έχοντας τη σχέση Λ = ln(2)/18T .

    Αρέσει σε 1 άτομο

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s