Οι λύσεις στη φυσική κατεύθυνσης Γ΄ λυκείου το 2015 στις επαναληπτικές πανελλήνιες εξετάσεις

Το άγαλμα του Isaac Newton έξω από την βρετανική βιβλιοθήκη .

Oι λύσεις στηρίχθηκαν στις χειρόγραφες λύσεις του συναδέλφου (και για μας δάσκαλου) Βαγγέλη Μαρούση , που μπορείτε να βρείτε :

Πατήστε εδώ .

Στον γνωστό ιστότοπο :

fz Φυσικής ζητήματα .

Ο Βαγγέλης Μαρούσης έλυσε τα θέματα αναλυτικά (μια μέρα πριν από εμάς) και θεωρήσαμε σωστό να βασίσουμε τις λύσεις μας πάνω στις δικές του .

Τον ευχαριστούμε και του ευχόμαστε καλή ξεκούραση .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Θέμα Α

Στις ερωτήσεις Α₁ – Α₄ να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση.

Α₁.

Στη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και στην ίδια διεύθυνση, το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

α. σε κάθε περίπτωση σταθερό ,

β. σε κάθε περίπτωση ίσο με το άθροισμα του πλάτους των δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ,

γ. σε κάθε περίπτωση μηδέν ,

δ. αρμονική συνάρτηση του χρόνου .

Α₂.

Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος Δi / Δt  σε κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων L-C είναι μέγιστος, όταν  :

α. η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν ,

β. η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι μέγιστη ,

γ. το φορτίο στον πυκνωτή είναι μηδέν ,

δ. η  ενέργεια  του  ηλεκτρικού  πεδίου  του  πυκνωτή  είναι  ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου .

Α₃.

Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του.

Το κύμα :

α. διαδίδεται προς τα αριστερά ,

β. διαδίδεται προς τα δεξιά ,

γ. είναι στάσιμο ,

δ. μπορεί να διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά) .

Α₄.

Το Σχήμα 2 παριστάνει σώμα Σ συνδεδεμένο με δύο ελατήρια και εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση. Το σύστημα είναι τοποθετημένο σε οριζόντιο επίπεδο. Επιπλέον, το σώμα Σ είναι συνδεδεμένο με οριζόντια ελαστική χορδή κατά μήκος της οποίας διαδίδεται μηχανικό κύμα με πηγή το σώμα Σ .

Να επιλέξετε τη σωστή εκδοχή του Σχήματος 3 (α – δ) που περιγράφει το στιγμιότυπο του κύματος που διαδίδεται στη χορδή:

Α₅.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Σε εξαναγκασμένη ταλάντωση που βρίσκεται σε συντονισμό, το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται, όταν διπλασιαστεί η συχνότητα του διεγέρτη.

β. Η πηγή έχει τη μεγαλύτερη φάση από τη φάση όλων των σημείων ενός αρμονικού κύματος.

γ. Στην επιφάνεια υγρού δύο σύμφωνες πηγές Π₁ και Π₂ εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση, οπότε στα σημεία του υγρού συμβάλλουν αρμονικά κύματα. Τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος Π₁Π₂ παραμένουν συνεχώς ακίνητα.

δ. Τα διανύσματα των εντάσεων του ηλεκτρικού πεδίου και του μαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι παράλληλα.

ε. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετική από αυτήν που ισχύει για τον ήχο.

Θέμα Β

Β₁.

Δύο σώματα αμελητέων διαστάσεων με μάζες m₁ και m₂ συγκρούονται κεντρικά σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η θέση x κάθε σώματος στην ευθεία γραμμή, που τα ενώνει, μετριέται από κοινή αρχή. Η γραφική παράσταση της θέσης του σώματος m₁ φαίνεται στο Σχήμα 4 και του σώματος m₂ στο Σχήμα 5. Δίνεται ότι m₁=1kg και ότι η διάρκεια της επαφής των δύο σωμάτων κατά την κεντρική κρούση είναι αμελητέα.

Η κρούση των δύο σωμάτων είναι :

i. ελαστική ,             ii. ανελαστική ,             iii. πλαστική ,

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση .

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας  .

Β₂.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο (1) δημιουργείται στάσιμο κύμα έτσι ώστε το ένα άκρο του μέσου να είναι δεσμός και το άλλο άκρο να είναι κοιλία. Μεταξύ των δύο άκρων υπάρχουν άλλοι 5 δεσμοί. Σε ένα δεύτερο ελαστικό μέσο (2) από το ίδιο υλικό αλλά με διπλάσιο μήκος από το πρώτο, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα, έτσι ώστε και τα δύο άκρα του δεύτερου μέσου να είναι δεσμοί. Μεταξύ των δύο άκρων του δεύτερου μέσου υπάρχουν άλλοι οκτώ δεσμοί. Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο μέσων είναι :

i. f₁ / f₂ = 11 / 9 ,            ii. f₁ / f₂ = 2 / 3 ,               iii. f₁ / f₂ = 9 / 11 .

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση .

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας .

Β₃.

Στο άκρο ενός δοχείου κυβικού σχήματος τοποθετείται μικρό νόμισμα αμελητέων διαστάσεων. Ένας παρατηρητή βλέπει “οριακά” το νόμισμα από τη θέση που βρίσκεται έξω από το δοχείο, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 6. Στη συνέχεια, γεμίζουμε το δοχείο με υγρό μέχρι το μέσο του, οπότε ο παρατηρητής βλέπει πάλι “οριακά”, χωρίς να αλλάξει τη θέση του ματιού του, το νόμισμα μετατοπισμένο κατά απόσταση ίση με το 1/4  του μήκους της βάσης του δοχείου.

Το τετράγωνο του δείκτη διάθλασης του υγρού που προστέθηκε στο δοχείο είναι

i. n² = 13 / 8 ,                      ii. n² = 5 / 2 ,                         iii. n² = 2 .

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση .

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας . 

Θέμα Γ

Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους Α και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60^ο  μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές μεταξύ τους, αλλά κάθε μία είναι ομογενής. Το σύστημα των δύο ράβδων μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άρθρωση, που είναι στερεωμένη σε τοίχο, στο άκρο Α, χωρίς τριβές. Το σύστημα αφήνεται να περιστραφεί υπό την επίδραση της βαρύτητας από τη θέση του Σχήματος 7, όπου η ράβδος ℓ₁ είναι οριζόντια, με αρχική ταχύτητα μηδέν.

Δίνεται ότι τα μήκη των δύο ράβδων είναι ℓ₁ = 4∙m και ℓ₂ = 2∙m , ενώ η μάζα της ράβδου ℓ₂ είναι m₂ = 10 kg.

Γ₁.

Να υπολογίσετε τη μάζα m₁ της ράβδου μήκους ℓ₁, εάν το σύστημα αποκτά τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή που οι δύο ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.

Γ₂.

Να υπολογίσετε τη μάζα m₁ της ράβδου μήκους ℓ₁ , εάν το σύστημα σταματά στιγμιαία, όταν η ράβδος μήκους ℓ₁ φτάνει στην κατακόρυφη θέση που φαίνεται στο Σχήμα 9.

Γ₃.

Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο ράβδων του ερωτήματος Γ₂ στη θέση που απεικονίζεται στο Σχήμα 9.

Γ₄.

Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου μήκους ℓ₂ του ερωτήματος Γ₂ στη θέση που απεικονίζεται στο Σχήμα 9.

Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m / s² , η ροπή αδρανείας ράβδου μήκους ℓ και μάζας m που περιστρέφεται γύρω από το άκρο της Α, Ι_Α = (1 / 3)∙m∙l² , και ότι √3 = 1,7 (προσεγγιστικά).

Θέμα Δ

Ομογενής τροχαλία ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 40 Ν / m , που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.

Η μάζα της τροχαλίας είναι M = 1,6 kg , η ακτίνα της R = 0,2 m . Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό της και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας, της δίνεται από τη σχέσηI = (1 / 2)∙M∙R² .

Το σώμα Σ θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας m = 1,44 kg . Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες.

Δ₁.

Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ.

Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει την τροχαλία με το σώμα Σ , και το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση . Τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος Σ , για πρώτη φορά , το κέντρο μάζας της τροχαλίας έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά απόσταση h . Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας .

Δ₂.

Να υπολογίσετε την κατακόρυφη μετατόπιση h της τροχαλίας .

Δ₃.

Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ότι η τιμή t = 0 s αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που κόπηκε το νήμα και ότι η φορά απομάκρυνσης του σώματος Σ προς τα πάνω είναι θετική .

Δ₄.

Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κάτω άκρου Γ της τροχαλίας, όταν το κέντρο μάζας της τροχαλίας έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά απόσταση h.

Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m / s² , π = √10 και π² = 10 (προσεγγιστικά) .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Λύσεις

Θέμα Α

Α₁.

Σωστή επιλογή είναι η α .

Α₂.

Σωστή επιλογή είναι η α .

Α₃.

Σωστή επιλογή είναι η α .

Α₄.

Σωστή επιλογή είναι η γ .

Α₅.

α. Η πρόταση είναι Λάθος .

β. Η πρόταση είναι Σωστή .

γ. Η πρόταση είναι Λάθος .

δ. Η πρόταση είναι Λάθος .

ε. Η πρόταση είναι Σωστή .

Θέμα Β

Β₁.

Α.

Σωστή επιλογή είναι η i .

B.

Από τις τιμές που παίρνουμε από τα διαγράμματα x – t , για τα δύο σώματα έχουμε :

Πριν την κρούση

Σώμα μάζας m₁ :

υ₁ = (8 – 0) / (4 – 0) ⇒

υ₁ = 2 m / s .

Σώμα μάζας m₂ :

υ₂ = 0 m / s .

Μετά την κρούση

Σώμα μάζας m₁ :

υ₁΄ = (0 – 8) / (12 – 4) ⇒

υ₁΄ = – 1 m / s .

Σώμα μάζας m₂ :

υ₂΄ = (16 – 8) / (12 – 4) ⇒

υ₂΄ = 1 m / s .

Η αρχή διατήρησης της ορμής :

Ρ_{ολ,πριν} = Ρ_{ολ,μετά} ⇒

m₁·υ₁ + m₂·υ₂ = m₁·υ₁΄ + m₂·υ₂΄ ⇒

1·(+ 2) + m₂·0 = 1·(- 1) + m₂·(+ 1) ⇒

2 = – 1 + m₂ ⇒

m₂ = 3 kg .

H ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων πριν την κρούση , είναι :

Κ_{ολ,πριν} = ½·m₁·υ₁² + ½·m₂·υ₂² ⇒

Κ_{ολ,πριν} = ½·1·2² + ½·3·0 ⇒

Κ_{ολ,πριν} = 2 joule .

H ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων μετά την κρούση , είναι :

Κ_{ολ,μετά} = ½·m₁·υ₁΄² + ½·m₂·υ₂΄² ⇒

Κ_{ολ,μετά} = ½·1·(- 1)² + ½·3·1² ⇒

Κ_{ολ,μετά} = 2 joule .

Β₂.

Α.

Σωστή επιλογή είναι η i .

B.

To μήκος του γραμμικού ελαστικού μέσου (1) :

L₁ = 5·(λ₁ / 2) + (λ₁ / 4) ⇒

L₁ = 11·λ₁ / 4 … (Ι) .

To μήκος του γραμμικού ελαστικού μέσου (2) :

L₂ = 9·(λ₂ / 2) .

Ισχύει :

L₂ = 2·L₁ ⇒

L₁ = L₂ / 2 ⇒

L₁ = 9·(λ₂ / 2) / 2 ⇒

L₁ = 9·λ₂ / 4 … (ΙΙ) .

Στις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) , τα πρώτα μέλη είναι ίσα , άρα :

11·λ₁ / 4 = 9·λ₂ / 4 ⇒

11·λ₁ = 9·λ₂ ⇒

λ₂ / λ₁ = 11 / 9 … (III) .

Ισχύει :

υ = λ₁·f₁ ⇒

λ₁ = υ / f₁ .

Επίσης :

υ = λ₂·f₂ ⇒

λ₂ = υ / f₂ .

Από την σχέση (ΙΙΙ) :

(υ / f₂) / (υ / f₁) = 11 / 9 ⇒

f₁ / f₂ = 11 / 9 .

Β₃.

Α.

Σωστή επιλογή είναι η ii .

B.

Ο νόμος του Snell :

ημ θ_α / ημ θ_δ = n_αέρα / n_υγρού ⇒

{(d / 4) / √[(d / 2)² + (d / 4)²]} / ημ 45° = 1 / n_υγρού ⇒

(ο ορισμός του ημίτονου μας δίνει το πρώτο μέλος ενώ το πυθαγόρειο θεώρημα μας δίνει τον παρονομαστή : (d / 2)² + (d / 4)² ) ,

{(d² / 16) / √[(d² / 4) + (d² / 16)]} / (√2 / 2)² = 1 /  n_υγρού² ⇒

4·(d² / 16) / [(d² / 2) + (d² / 8)] = 1 /  n_υγρού² ⇒

(d² / 4) / [5·(d² / 8)] = 1 /  n_υγρού² ⇒

8 / (5·4) = 1 /  n_υγρού² ⇒

8 / 20 =  1 /  n_υγρού² ⇒

n_υγρού² = 20 / 8 ⇒

n_υγρού² = 5 / 2 .

Θέμα Γ

Γ₁.

Η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα στο σύστημα των δύο ράβδων παρουσιάζεται όταν η γωνιακή επιτάχυνση μηδενίζεται α_γων = 0 .

Από το θεμελιώδη νόμο της στροφορμής Στ = Ι·α_γων ⇒

αφού  α_γων = 0 ,

Στ = 0 ⇒

τ_w1 + τ_w2 = 0 ⇒

+ w₁·x₁ – w₂·x₂ = 0 ⇒

[ισχύει : x₁ = (l₁ / 2)·ημ 30° και x₂ = (l₂ / 2)·ημ 30°]

+ w₁·(l₁ / 2)·ημ 30° –  w₂·(l₂ / 2)·ημ 30° = 0 ⇒

m₁·g·(l₁ / 2)·ημ 30° = m₁·g·(l₁ / 2)·ημ 30° ⇒

m₁·l₁ = m₂·l₂ ⇒

m₁ = m₂·l₂ / l₁ ⇒

m₁ = 10·2 / 4 ⇒

m₁ = 5 kg .

Γ₂.

Από το σχήμα έχουμε :

h₁ = l₁ / 2 ,

h₂ = (l₁ / 2) – (l₂ / 2)·ημ 60° ,

h₂΄ = (l₁ / 2) – (l₂ / 2)·συν 60° .

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας :

(άλλη έκφραση της γενικότερης αρχής διατήρησης της ενέργειας που εφαρμόζεται στο σύστημα των δύο ράβδων μεταξύ των θέσεων που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα , όπου αρχική κατάσταση είναι η κατάσταση στο αριστερό τμήμα του σχήματος και τελική κατάσταση είναι η κατάσταση στο δεξιό τμήμα του σχήματος)

Κ_ολ,αρχ + U_{βαρ,αρχ,1} + U_{βαρ,αρχ,2} = Κ_ολ,τελ + U_{βαρ,τελ,1} + U_{βαρ,τελ,2} ⇒

0 + m₁·g·h₁ + m₂·g·h₂ = 0 + 0 + m₂·g·h₂΄ ⇒

m₁·( l₁ / 2) + m₂·[(l₁ / 2) – (l₂ / 2)·ημ 60°] = m₂·[(l₁ / 2) – (l₂ / 2)·συν 60°] ⇒

m₁·(4 / 2) + 10·[(4 / 2) – (2 / 2)·(1,7 / 2)] = 10·[(4 / 2) – (2 / 2)·(1 / 2)] ⇒

2·m₁ + 10·1,15 = 10·1,5 ⇒

2·m₁ = 15 – 11,5 ⇒

m₁ = 3,5 / 2 ⇒

m₁ = 1,75 kg .

Γ₃.

Η ροπή αδράνειας του συστήματος των δύο ράβδων είναι :

Ι_ολ = Ι₁ + Ι₂ ⇒

Ι_ολ = (1 / 3)·m₁·l₁² + (1 / 3)·m₂·l₂² ⇒

Ι_ολ = (1 / 3)·1,75·4² + (1 / 3)·10·2² ⇒

Ι_ολ = (28 / 3) + (40 / 3) ⇒

Ι_ολ = (68 / 3) kg·m² .

Ισχύει :

Στ = τ_w2 ⇒

Στ = – w₂·(l₂ / 2)·ημ 60° ⇒

Στ = – m₂·g·(l₂ / 2)·ημ 60° ⇒

Στ = – 10·10·(2 / 2)·(1,7 / 2) ⇒

Στ = – 85 N·m .

Θεμελιώδης νόμος της στροφικής :

Στ = Ι_ολ·α_γων ⇒

τ_w2 =  Ι_ολ·α_γων ⇒

α_γων = τ_w2 / Ι_ολ ⇒

α_γων = – 85 / (68 / 3) ⇒

α_γων = – 85·3 / 68 ⇒

α_γων = – 3,75 rad / s² .

Γ₄.

O ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου μήκους ℓ₂ , από τον γενικευμένο θεμελιώδη νόμο της στροφικής :

(dL / dt)₂ = Στ₂ ⇒

(dL / dt)₂ = I₂·α_γων ⇒

(dL / dt)₂ = (1 / 3)·10·2²·(- 3,75) ⇒

(dL / dt)₂ = – 50 kg·m² / s² .

Θέμα Δ

Δ₁.

H τροχαλία ισορροπεί . Σαν στερεό σώμα που είναι :

α. Ισορροπεί μεταφορικά :

ΣF_y = 0 ⇒

T₁ + T₂ – M·g = 0 ⇒

T₁ + T₂ = M·g ⇒

T₁ + T₂ = 1,6·10 ⇒

T₁ + T₂ = 16 … (I) .

β. Ισορροπεί περιστροφικά :

(θεωρούμε άξονα τον άξονα που περνάει κάθετα από το κέντρο της τροχαλίας)

Στ = 0 ⇒

– Τ₁·R + T₂·R = 0 ⇒

Τ₁·R = T₂·R = 0 ⇒

Τ₁ = T₂ … (II) .

Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) έχουμε :

T₁ + T₁ = 16 ⇒

2·T₁ = 16 ⇒

T₁ = 16 / 2 ⇒

T₁ = 8 Ν .

Άρα :

T₁ = T₂ = 8 Ν .

Μεταφορική ισορροπία του σώματος Σ , μάζας m :

ΣF_y΄ = 0 ⇒

F_ελ – Τ₂΄ – m·g = 0 ⇒

F_ελ = Τ₂΄ + m·g ⇒

(Οι δυνάμεις Τ₂ και Τ₂΄ είναι δυνάμεις δράσης – αντίδρασης)

F_ελ = Τ₂ + m·g ⇒

F_ελ = 8 + 1,44·10 ⇒

F_ελ = 22,4 Ν .

Δ₂.

Κόβουμε το νήμα που συνδέει την τροχαλία με το σώμα Σ . Η χρονική στιγμή που μηδενίζεται η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος Σ , είναι :

t = T / 2 ⇒

t = [2·π·√(m / k)] / 2 ⇒

t = π·√(m / k) .

Η τροχαλία κινείται μεταφορικά και περιστροφικά .

Μεταφορική κίνηση της τροχαλίας , 2ος νόμος του Νεύτωνα :

ΣF_y = 0 ⇒

M·g – T = M·α_cm … (III) .

Περιστροφική κίνηση της τροχαλίας , θεμελιώδης νόμος της στροφικής :

Στ = Ι·α_γων ⇒

Τ·R = ½·M·R²·α_γων ⇒

Τ = ½·M·R·α_γων … (IV) .

Ισχύει :

α_cm = α_γων·R … (V) .

Από τις σχέσεις (ΙΙΙ) , (ΙV) , (V) :

M·g – ½·M·R·α_γων = M·α_γων·R ⇒

M·g = M·α_γων·R + ½·M·R·α_γων ⇒

M·g = (3 / 2)·M·R·α_γων ⇒

g = (3 / 2)·R·α_γων ⇒

α_γων = 2·g / (3·R) … (VI) .

Από τις σχέσεις (V) και (VI) :

α_cm = [2·g / (3·R)]·R ⇒

α_cm = (2·g / 3) ⇒

α_cm = (2·10 / 3) ⇒

α_cm = 20 / 3 m / s² .

Η τροχαλία έχει διανύσει , ύψος :

h = ½·α_cm·t² ⇒

h = ½·(20 / 3)·π²·(m / k) ⇒

h = ½·(20 / 3)·10·(1,44 / 40) ⇒

h = 1,2 m .

Δ₃.

Στο Δ₁ ερώτημα , είχαμε υπολογίσει :

F_ελ = 22,4 N ⇒

k·Δl₁ = 22,4 ⇒

Δl₁ = 22,4 / k ⇒

Δl₁ = 22,4 / 40 ⇒

Δl₁ = 0,56 m .

Στη θέση ισορροπίας του σώματος Σ :

ΣF_y = 0 ⇒

F_ελ΄ – m·g = 0 ⇒

F_ελ΄ = m·g ⇒

k·Δl₂ = m·g ⇒

Δl₂ = m·g / k ⇒

Δl₂ = 1,44·10 / 40 ⇒

Δl₂ = 0,36 m .

Άρα το πλάτος Α :

Α = Δl₁ – Δl₂ ⇒

Α = 0,56 – 0,36 ⇒

Α = 0,2 m .

Ισχύει D = k .

Και :

D = m·ω² ⇒

ω = √(D / m) ⇒

ω = √(40 / 1,44) ⇒

ω = √(400·10 / 144) ⇒

ω = (20 / 12)·√10 ⇒

ω = (5·π / 3) rad / s .

Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ :

y = A·ημ (ω·t + φ₀) ⇒

Για t = 0 , y = – A , άρα ,

– Α = Α·ημ φ₀ ⇒

ημ φ₀ = – 1 ⇒

ημ φ₀ = ημ (3·π / 2) ⇒

φ₀ = 2·κ·π + (3·π / 2) ή φ₀ = 2·κ·π + π – (3·π / 2) ,

για κ = 0 ,

φ₀ = 3·π / 2 rad ή φ₀ = – π / 2 rad που απορρίπτεται (γιατί 0 ≤ φ₀ < 2·π)

άρα φ₀ = 3·π / 2 rad .

Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ :

y = 0,2·ημ [(5·π / 3)·t + (3·π / 2)] , (S.I.) .

Δ₄.

O χρόνος :

t = π·√(m / k) ⇒

t = √(π²·m / k) ⇒

t = √(10·1,44 / 40) ⇒

t = 0,6 s .

H ταχύτητα του κέντρου μάζας υ_cm :

υ_cm = α_cm·t ⇒

υ_cm = (20 / 3)·0,6 ⇒

υ_cm = 4 m / s .

H γραμμική ταχύτητα υ_γρ :

υ_γρ = υ_cm = 4 m / s .

Το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Γ , υ_Γ :

υ_Γ = √(υ_cm² + υ_γρ²) ⇒

υ_Γ = √(υ_cm² + υ_cm²) ⇒

υ_Γ = √(2·υ_cm²) ⇒

υ_Γ = υ_cm·√2 ⇒

υ_Γ = 4·√2 m / s .

Αναλυτικές λύσεις από τον συνάδελφο Βαγγέλη Μαρούση , τον ευχαριστούμε .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου