Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ΙΙ

calm summer sea

H θάλασσα το καλοκαίρι , εικόνα που μας ηρεμεί .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ΙΙ

Ένα κινητό μάζας m = 0,5 kg εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και πάνω στην ίδια διεύθυνση , με εξισώσεις :

x= 4·ημ [10·t + (π / 6)] και x= 4·√3·ημ [10·t + (2·π / 3)] , (S.I.) .

Να υπολογίσετε την εξίσωση της απομάκρυνσης , της ταχύτητας , της επιτάχυνσης και της δύναμης επαναφοράς του σώματος .

Λύση

Οι δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας , έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω = 10 rad / s .

Η σχέση κυκλικής συχνότητας και περιόδου , είναι :

ω = 2·π / Τ ⇒

Τ = 2·π / ω ⇒

Τ = 2·π / 10 ⇒

Τ = π / 5 s .

Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων :

Δφ = φ0,2 – φ0,1 ⇒

Δφ = [(2·π / 3) – (π / 6)] ⇒

Δφ = [(4·π / 6) – (π / 6)] ⇒

Δφ = 3·π / 6 ⇒

Δφ = π / 2 rad .

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

Α = √(Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν φ) ⇒

Α = √[4² + (4·√3)² + 2·4·4·√3·συν (π / 2)] ⇒

Α = √[4² + (4·√3)²] ⇒

Α = √[16 + 16·3] ⇒

Α = √64 ⇒

Α = 8 m .

H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης , είναι :

εφ θ = (Α2·ημ φ) / (Α+ Α2·συν φ) ⇒

εφ θ = [4·√3·ημ (π / 2)] / [4 + 4·√3·συν (π / 2)] ⇒

εφ θ = (4·√3·1) / (4 + 4·√3·0) ⇒

εφ θ = (4·√3) / 4 ⇒

εφ θ = √3 ⇒

θ = π / 3 rad .

Άρα η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

x = Α·ημ (ω·t + φ0,1 + θ) ⇒

x = 8·ημ [10·t + (π / 6) + (π / 3)] ⇒

x = 8·ημ [10·t + (π / 2)] , (S.I.) .

Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος είναι :

υmax = ω·Α ⇒

υmax = 10·8 ⇒

υmax = 80 m / s .

Άρα η εξίσωση της ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

υ = υmax·συν (ω·t + θ) ⇒

υ = 80·συν [10·t + (π / 2)] , (S.I.) .

Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης του σώματος είναι :

αmax = ω²·Α ⇒

αmax = 10²·8 ⇒

αmax = 800 m / s² .

Άρα η εξίσωση της επιτάχυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

α = – αmax·ημ (ω·t + θ) ⇒

α = – 800·ημ [10·t + (π / 2)] , (S.I.) .

Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος είναι :

(2ος νόμος του Νεύτωνα)

ΣFmax = m·αmax 

ΣFmax = m·ω²·Α ⇒

ΣFmax = 0,5·10²·8 ⇒

ΣFmax = 400 Ν .

Άρα η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

ΣF = – ΣFmax·ημ (ω·t + θ) ⇒

ΣF = – 400·ημ [10·t + (π / 2)] , (S.I.) .

Σχόλιο : Μια άσκηση που έχει διδακτικά ενδιαφέρον .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων ΙΙ

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s