Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων Ι

beach grass summer with light

Λουλούδια της άμμου , ένα καλοκαιρινό τοπίο .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων Ι

Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις :

x= 3·ημ [(2·π)·t]  και  x= 4·ημ [(2·π)·t + φ] , (S.I.) .

Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x (t) του σώματος και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις x– t , x– t , x – t  όταν :

α. φ = 0 ,

β. φ = π rad ,

Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x (t) του σώματος :

γ. φ = π / 3 rad .

Λύση

α.

Οι δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας , έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω = 2·π rad / s .

Η σχέση κυκλικής συχνότητας και περιόδου , είναι :

ω = 2·π / Τ ⇒

Τ = 2·π / ω ⇒

Τ = 2·π / (2·π) ⇒

Τ = 1 s .

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

Α = √(Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν φ) ⇒

(φ = 0°)

Α = √(Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν 0°) ⇒

Α = √(Α1 + Α2)² ⇒

Α = Α1 + Α2 ⇒

Α = 3 + 4 ⇒

Α = 7 m .

H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης , είναι :

εφ θ = (Α2·ημ φ) / (Α+ Α2·συν φ) ⇒

εφ θ = (4·ημ 0°) / (3 + 4·συν 0°) ⇒

εφ θ = 0 ⇒

θ = 0° .

Άρα η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

x = Α·ημ (ω·t + θ) ⇒

x = 7·ημ [(2·π)·t + 0] ⇒

x = 7·ημ [(2·π)·t] , (S.I.) .

Tα ζητούμενα διαγράμματα :

C kat sinthesi tal I sx 1_1

β.

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

Α΄ = √(Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν φ) ⇒

(φ = π rad)

Α΄ = √(Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν π) ⇒

Α΄ = √[Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·(- 1)] ⇒

Α΄ = √(Α1 – Α2)² ⇒

Α΄ = |Α1 – Α2| ⇒

Α΄ = |3 – 4| ⇒

Α΄ = 1 m .

H διαφορά φάσης θ΄ της σύνθετης ταλάντωσης , είναι :

εφ θ΄ = (Α2·ημ φ) / (Α+ Α2·συν φ) ⇒

εφ θ΄ = (4·ημ π) / (3 + 4·συν π) ⇒

εφ θ΄ = 0 ⇒

αφού Α1 < Α, τότε :

θ΄ = π rad .

Άρα η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

x΄ = Α΄·ημ (ω·t + θ΄) ⇒

x΄ = 1·ημ [(2·π)·t + π] , (S.I.) .

Tα ζητούμενα διαγράμματα :

C kat sinthesi tal I sx 2_1

γ.

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

Α΄ = √(Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν φ) ⇒

(φ = π / 3 rad)

Α΄΄ = √[Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·συν (π / 3)] ⇒

Α΄΄ = √[Α1² + Α2² + 2·Α1·Α2·(1 / 2)] ⇒

Α΄΄ = √(Α1² + Α2²) ⇒

Α΄΄ = √(3² + 4²) ⇒

Α΄΄ = √(25) ⇒

Α΄΄ = 5 m .

H διαφορά φάσης θ΄ της σύνθετης ταλάντωσης , είναι :

εφ θ΄΄ = (Α2·ημ φ) / (Α+ Α2·συν φ) ⇒

εφ θ΄΄ = [4·ημ π / 3] / [3 + 4·συν (π / 3)] ⇒

εφ θ΄΄ = [4·(1 / 2)] / [3 + 4·(1 / 2)] ⇒

εφ θ΄΄ = (2 / 5) .

Δεν μπορούμε να ξέρουμε την θ΄΄ .

Άρα η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

x΄΄ = Α΄΄·ημ (ω·t + θ΄΄) ⇒

x΄΄ = 5·ημ [(2·π)·t + θ΄΄] , (S.I.) .

Σχόλιο : Μια άσκηση  που έχει διδακτικά ενδιαφέρον .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων Ι

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s