Θεώρημα Torricelli – Ταχύτητα εκροής , μέγιστη απόσταση

torricellis law diagram I

Μια διαγραμματική απεικόνιση του νόμου του Torricelli .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Θεώρημα Torricelli – Ταχύτητα εκροής , μέγιστη απόσταση

Κυλινδρικό δοχείο ύψους H είναι γεμάτο με υγρό που θεωρείται ιδανικό .

C kat theorima toricelli sx 1_1

Σε ποιο ύψος από το έδαφος πρέπει να ανοίξουμε μια τρύπα έτσι ώστε το υγρό που εκρέει να φτάσει στην μέγιστη δυνατή απόσταση από την κατακόρυφο που περνάει από την οπή ;

Λύση

Το υγρό που εκρέει από την οπή έχει οριζόντια ταχύτητα υ και το υγρό εκτελεί οριζόντια βολή .

Άρα ισχύει :

x = υ·t

και

h = ½·g·t² ⇒

t = √(2·h / g) .

Από το θεώρημα του Τorricelli :

(H απόδειξη του θεωρήματος του Τorricelli βρίσκεται στο κάτω μέρος)

υ = √[2·g·(H – h)] .

Άρα :

x = υ·t ⇒

x = √[2·g·(H – h)]·√(2·h / g) ,

υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο :

x² = 4·g·(H – h)·(h / g) ⇒

x² = 4·(H – h)·h ⇒

x² = 4·H·h – 4·h² ⇒

4·h² – 4·H·h + x² = 0 .

Για να λυθεί το τριώνυμο ως προς h πρέπει Δ ≥ 0 , άρα :

β² – 4·α·γ ≥ 0 ⇒

16·Η² – 4·4·x² ≥ 0 ⇒

16·x² ≤ 16·Η² ⇒

x ≤ H .

Δηλαδή xmax = H .

Στο τριώνυμο  4·h² – 4·H·h + x² = 0  θέτουμε  x = xmax = H :

4·h² – 4·H·h + H² = 0 .

h1,2 = (4·H ± √Δ) / (2·4) .

Το Δ = 0 για x = H ,

h1,2 = H / 2 .

Aν χρησιμοποιήσουμε την παράγωγο :

g (h) = x² = 4·H·h – 4·h² .

Η συνάρτηση έχει μέγιστο όταν :

d g(h) / dh = 0 ⇒

d g(h) / dh = 4·H – 2·4·h ⇒

0 = 4·H – 8·h ⇒

h = H / 2 .

Απόδειξη του θεωρήματος του Torricelli :

C kat theorima toricelli sx 2_1

Για τα σημεία (1) και (2) εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli :

Ρ+ ½·ρυ·υ1² + ρυ·g·h = Ρ+ ½·ρυ·υ2² .

Από την εξίσωση της συνέχειας :

Α1·υ= Α2·υ

υ1² = (Α2² / Α1²)·υ2² .

Επειδή  Α2² / Α1² << 1 το υ1² << 1 και μπορεί να παραληφθεί .

Επίσης Ρ= Ρ= Ρat ,

Άρα :

ρυ·g·h = ½·ρυ·υ2² ⇒

υ2 = √(2·g·h) .

Σχόλιο : Μια άσκηση – απόδειξη διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Θεώρημα Torricelli – Ταχύτητα εκροής , μέγιστη απόσταση

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s