Κατακόρυφο ελατήριο και δύο σώματα δεμένα με νήμα

black bird in nature

H απλότητα είναι η ομορφιά της φύσης .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Κατακόρυφο ελατήριο και δύο σώματα δεμένα με νήμα

Το σώμα μάζας Μ = 5 kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k που το άνω άκρο του είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή .

Το σώμα Μ είναι δεμένο μέσω νήματος (αβαρούς και μη εκτατού) με σώμα m = 1,25 kg .

Τα σώματα μάζας Μ , m και το ελατήριο σταθεράς k ισορροπούν . Στη θέση αυτή ισορροπίας , το σώμα μάζας m απέχει από το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους απόσταση h = 0,5 m .

C kat katakorifo kai dio somata me nima sx 2_1

Την χρονική στιγμή μηδέν , καίμε με ένα σπίρτο το νήμα . Τη χρονική στιγμή που το σώμα m φτάνει στο έδαφος , το σώμα μάζας M αποκτά για πρώτη φορά μέγιστη ταχύτητα .

Να υπολογίσετε :

α. Την ταχύτητα του σώματος m , όταν φτάνει στο δάπεδο .

β. Την σταθερά του ελατηρίου k ,

γ. Την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Μ σε συνάρτηση με τον χρόνο ,

δ. Να υπολογίσετε το λόγο της συνισταμένης δύναμης ταλάντωσης του συστήματος προς τη δύναμη του ελατηρίου , τη χρονική στιγμή που το νήμα κάηκε .

Λύση

α.

C kat katakorifo kai dio somata me nima_1

Το νήμα που ενώνει το σώμα μάζας Μ με το σώμα μάζας m καίγεται .

Το σώμα μάζας m εκτελεί ελεύθερη πτώση ,

η κατακόρυφη μετατόπιση :

h = ½·g·t² ⇒

t² = 2·h / g ⇒

t = √(2·h / g) ⇒

t = √(2·½ / 10) ⇒

t = √10 / 10 s .

η ταχύτητα :

υ = g·t ⇒

υ = 10·(√10 / 10) ⇒

υ = √10 s .

β.

Τη χρονική στιγμή που το σώμα m φτάνει στο έδαφος , το σώμα μάζας M αποκτά για πρώτη φορά μέγιστη ταχύτητα .

Το σώμα μάζας M αποκτά μέγιστη ταχύτητα όταν βρεθεί στη θέση ισορροπίας .

Άρα ο χρόνος , είναι :

t = T / 4 ⇒

T = 4·t ⇒

T = 4·(√10 / 10) ⇒

T = √10 / 2,5 s .

H περίοδος ταλάντωσης του σώματος Μ , είναι :

Τ = 2·π·√(Μ / k) ⇒

T² = 4·π²·Μ / k ⇒

k =  4·π²·Μ / T² ⇒

k = 4·10·5 / (√10 / 2,5)² ⇒

k = 200 / (10 / 6,25) ⇒

k = 125 N / m .

γ.

Το νήμα που ενώνει το σώμα μάζας Μ με το σώμα μάζας m καίγεται .

Το σώμα μάζας Μ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και την χρονική στιγμή μηδέν (σημείο εκκίνησης) της ταλάντωσης του το σώμα βρίσκεται στην θέση x = – A .

C kat katakorifo kai dio somata me nima_1

Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι :

x = A·ημ (ω·t + φ0) ⇒

H αρχική φάση της ταλάντωσης υπολογίζεται για t = 0 αν x = – A ,

– Α = Α·ημ (ω·0 + φ0) ⇒

ημ φ0 = – 1 = ημ (3·π / 2) ⇒

φ0 = 2·κ·π + (3·π / 2)  ή  φ0 = 2·κ·π + π – (3·π / 2) ⇒

για κ = 0 ,

φ0 = (3·π / 2) rad  ή  φ0 = – (π / 2) rad που απορρίπτεται γιατί 0 ≤ φ0 ≤ 2·π rad .

Άρα φ0 = (3·π / 2) rad .

Η γωνιακή συχνότητα ω :

ω = 2·π / Τ ⇒

ω =  2·π / (√10 / 2,5) ⇒

ω = 5·π·√10 / 10 ⇒

ω = π·√10 / 2 rad / s .

H θέση ισορροπίας του συστήματος των δύο σωμάτων Μ και m , η x2 :

C kat katakorifo kai dio somata me nima_1

ΣFy = 0 ⇒

Fελ – wM – wm = 0 ⇒

k·x1 – M·g – m·g = 0 ⇒

k·x1 = (M + m)·g ⇒

x1 = (M + m)·g / k ⇒

x1 = (5 + 1,25)·10 / 125 ⇒

x1 = 0,5 m .

H θέση ισορροπίας του σώματος M , η x2 :

ΣFy΄ = 0 ⇒

Fελ΄ – wM = 0 ⇒

k·x2 – M·g = 0 ⇒

k·x2 = M·g ⇒

x2 = M·g / k ⇒

x2 = 5·10 / 125 ⇒

x2 = 0,4 m .

Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Μ , είναι :

Α = x1 – x2 ⇒

Α = 0,5 – 0,4 ⇒

Α = 0,1 m .

Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι :

x = A·ημ (ω·t + φ0) ⇒

x = 0,1·ημ [(π·√10 / 2)·t + (3·π / 2)] .

δ.

Ο λόγος του μέτρου της συνισταμένης δύναμης ταλάντωσης του συστήματος προς το μέτρο της δύναμη του ελατηρίου , τη χρονική στιγμή που το νήμα κάηκε :

ΣF / Fελ = k·Α / [k·(A + x2)] ⇒

ΣF / Fελ = A / (A + x2) ⇒

ΣF / Fελ = 0,1 / (0,1 + 0,4) ⇒

ΣF / Fελ = 0,1 / 0,5 ⇒

ΣF / Fελ = 1 / 5 .

Σχόλιο : Διδακτική άσκηση

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Κατακόρυφο ελατήριο και δύο σώματα δεμένα με νήμα

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s