Δύο ελατήρια σε σειρά κατακόρυφα

Wild-Animals in nature

Μια όμορφη εικόνα της φύσης .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Δύο ελατήρια σε σειρά κατακόρυφα

Δύο ιδανικά ελατήρια με σταθερές k= 150 N / m και k= 300 N / m συνδέονται σε σειρά .

Το ένα άκρο του συστήματος που προκύπτει συνδέεται ακλόνητα με προφή και το άλλο συνδέεται με σώμα μάζας m = 1 kg . Το σύστημα ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα . Απομακρύνουμε τη μάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων κατά Δx = 0,2 m και την αφήνουμε ελεύθερη .

C kat dio elatiria se seira katakorifa_1

α. Να δείξετε ότι το σύστημα μάζας – ελατηρίων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο Τ .

β. Πόση είναι η ολική ενέργεια της ταλάντωσης ;

γ. Ποιο ποσοστό επί τοις % της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης είναι κινητική ενέργεια της μάζας όταν διέρχεται από τη θέση με y = – √3 / 10 m ;

Δίνεται g = 10 m / s² .

Λύση

α.

C kat dio elatiria se seira katakorifa sx 2_1

Στο αριστερό σχήμα βλέπουμε τα δύο ελατήρια στη θέση φυσικού μήκους τους , αν και στο σχήμα φαίνονται ίδια (ένα αρκετά πολύπλοκο σχήμα) στη πραγματικότητα διαφέρουν γιατί η σταθερά επαναφοράς δεν είναι η ίδια .

Στο δεύτερο σχήμα βλέπουμε το σώμα μάζας m να βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του :

ΣF= 0 ⇒

θετική φορά είναι η φορά προς τα κάτω , σε κάθε ελατήριο ασκείται δύναμη F ,

m·g – F = 0 ⇒

F = m·g … (I) .

Στο ελατήριο με σταθερά k1 ασκείται δύναμη F που το επιμηκύνει κατά x1΄ .

F = k1·x1΄ ⇒

x1΄ = F / k1 .

Στο ελατήριο με σταθερά k2 ασκείται δύναμη F που το επιμηκύνει κατά x2 .

F = k2·x2 ⇒

x2 = F / k2 .

Ισχύει :

x1 = x1΄ + x2 ⇒

x1 = (F / k1) + (F / k2) ⇒

x1 = F·[(1 / k1) + (1 / k2)] ⇒

x1 = F·(k2 + k1) / (k2·k1) ⇒

F = [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x1 ⇒

από τη σχέση (Ι) ,

m·g = [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x1 … (ΙΙ) .

C kat dio elatiria se seira katakorifa sx 2_1

Στη τυχαία θέση :

Στο ελατήριο με σταθερά k1 ασκείται δύναμη F΄ που το επιμηκύνει κατά x1΄΄ .

F΄ = k1·x1΄΄ ⇒

x1΄΄ = F΄ / k1 .

Στο ελατήριο με σταθερά k2 ασκείται δύναμη F΄ που το επιμηκύνει κατά x2΄ .

F΄ = k2·x2΄ ⇒

x2΄ = F΄ / k2 .

Ισχύει :

x + x1 = x1΄΄ + x2΄ ⇒

x + x1 = (F΄ / k1) + (F΄ / k2) ⇒

x + x1 = F΄·[(1 / k1) + (1 / k2)] ⇒

F΄ = [(k1·k2) / (k1 + k2)]·(x + x1) … (III) .

Στη τυχαία θέση ισχύει :

ΣFy΄ = m·g – F΄ ⇒

από τη σχέση (III) ,

ΣFy΄ = m·g – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·(x + x1) ⇒

ΣFy΄ = m·g – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x

ΣFy΄ =  – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x , είναι της μορφής ΣFy΄ =  – D·x ,

με D = (k1·k2) / (k1 + k2) = 150·300 / (150 + 300) ⇒

D = 100 N / m .

Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο :

Τ = 2·π·√(m / D) ⇒

Τ = 2·π·√(1 / 100) ⇒

T = 2·π / 10 ⇒

T = π / 5 s .

β.

Ισχύει Δx = A ⇒ A = 0,2 m .

Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης :

E = ½·D·A² ⇒

E = ½·100·0,2² ⇒

E = 2 J .

γ. 

Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης στη θέση x = – √3 / 10 m :

U = ½·D·x² ⇒

U = ½·100·(- √3 / 10)² ⇒

U = 50·3 / 100 ⇒

U = 1,5 J .

H μηχανική ενέργεια διατηρείται :

Ε = Κ + U ⇒

K = E – U ⇒

K = 2 – 1,5 ⇒

K = 0,5 J .

(K / E) % = (K / E)·100 % ⇒

(K / E) % = (0,5 / 2)·100 % ⇒

(K / E) % = 25 % .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

2 thoughts on “Δύο ελατήρια σε σειρά κατακόρυφα

  1. ήταν πολυ κατατοπιστικό και χρήσιμο !!! Αυτό που δεν μπορώ να καταλάβω είναι γιατί στην απόδειξη ότι εκτελεί Α.Α.Τ. στην τυχαία θέση παίρνουμε ως δεδομένο ότι και στο Κ1 και στο Κ2 ασκειται ιση δύναμη F’ . Γιατί ίση και όχι διαφορετική ? Αν μπορει καποιος να μου το εξηγησει …

    Αρέσει σε 1 άτομο

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s