Δύο ελατήρια σε σειρά κατακόρυφα

Wild-Animals in nature

Μια όμορφη εικόνα της φύσης .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Δύο ελατήρια σε σειρά κατακόρυφα

Δύο ιδανικά ελατήρια με σταθερές k= 150 N / m και k= 300 N / m συνδέονται σε σειρά .

Το ένα άκρο του συστήματος που προκύπτει συνδέεται ακλόνητα με προφή και το άλλο συνδέεται με σώμα μάζας m = 1 kg . Το σύστημα ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα . Απομακρύνουμε τη μάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων κατά Δx = 0,2 m και την αφήνουμε ελεύθερη .

C kat dio elatiria se seira katakorifa_1

α. Να δείξετε ότι το σύστημα μάζας – ελατηρίων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο Τ .

β. Πόση είναι η ολική ενέργεια της ταλάντωσης ;

γ. Ποιο ποσοστό επί τοις % της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης είναι κινητική ενέργεια της μάζας όταν διέρχεται από τη θέση με y = – √3 / 10 m ;

Δίνεται g = 10 m / s² .

Λύση

α.

C kat dio elatiria se seira katakorifa sx 2_1

Στο αριστερό σχήμα βλέπουμε τα δύο ελατήρια στη θέση φυσικού μήκους τους , αν και στο σχήμα φαίνονται ίδια (ένα αρκετά πολύπλοκο σχήμα) στη πραγματικότητα διαφέρουν γιατί η σταθερά επαναφοράς δεν είναι η ίδια .

Στο δεύτερο σχήμα βλέπουμε το σώμα μάζας m να βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του :

ΣF= 0 ⇒

θετική φορά είναι η φορά προς τα κάτω , σε κάθε ελατήριο ασκείται δύναμη F ,

m·g – F = 0 ⇒

F = m·g … (I) .

Στο ελατήριο με σταθερά k1 ασκείται δύναμη F που το επιμηκύνει κατά x1΄ .

F = k1·x1΄ ⇒

x1΄ = F / k1 .

Στο ελατήριο με σταθερά k2 ασκείται δύναμη F που το επιμηκύνει κατά x2 .

F = k2·x2 ⇒

x2 = F / k2 .

Ισχύει :

x1 = x1΄ + x2 ⇒

x1 = (F / k1) + (F / k2) ⇒

x1 = F·[(1 / k1) + (1 / k2)] ⇒

x1 = F·(k2 + k1) / (k2·k1) ⇒

F = [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x1 ⇒

από τη σχέση (Ι) ,

m·g = [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x1 … (ΙΙ) .

C kat dio elatiria se seira katakorifa sx 2_1

Στη τυχαία θέση :

Στο ελατήριο με σταθερά k1 ασκείται δύναμη F΄ που το επιμηκύνει κατά x1΄΄ .

F΄ = k1·x1΄΄ ⇒

x1΄΄ = F΄ / k1 .

Στο ελατήριο με σταθερά k2 ασκείται δύναμη F΄ που το επιμηκύνει κατά x2΄ .

F΄ = k2·x2΄ ⇒

x2΄ = F΄ / k2 .

Ισχύει :

x + x1 = x1΄΄ + x2΄ ⇒

x + x1 = (F΄ / k1) + (F΄ / k2) ⇒

x + x1 = F΄·[(1 / k1) + (1 / k2)] ⇒

F΄ = [(k1·k2) / (k1 + k2)]·(x + x1) … (III) .

Στη τυχαία θέση ισχύει :

ΣFy΄ = m·g – F΄ ⇒

από τη σχέση (III) ,

ΣFy΄ = m·g – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·(x + x1) ⇒

ΣFy΄ = m·g – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x

ΣFy΄ =  – [(k1·k2) / (k1 + k2)]·x , είναι της μορφής ΣFy΄ =  – D·x ,

με D = (k1·k2) / (k1 + k2) = 150·300 / (150 + 300) ⇒

D = 100 N / m .

Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο :

Τ = 2·π·√(m / D) ⇒

Τ = 2·π·√(1 / 100) ⇒

T = 2·π / 10 ⇒

T = π / 5 s .

β.

Ισχύει Δx = A ⇒ A = 0,2 m .

Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης :

E = ½·D·A² ⇒

E = ½·100·0,2² ⇒

E = 2 J .

γ. 

Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης στη θέση x = – √3 / 10 m :

U = ½·D·x² ⇒

U = ½·100·(- √3 / 10)² ⇒

U = 50·3 / 100 ⇒

U = 1,5 J .

H μηχανική ενέργεια διατηρείται :

Ε = Κ + U ⇒

K = E – U ⇒

K = 2 – 1,5 ⇒

K = 0,5 J .

(K / E) % = (K / E)·100 % ⇒

(K / E) % = (0,5 / 2)·100 % ⇒

(K / E) % = 25 % .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Δύο ελατήρια σε σειρά κατακόρυφα

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s