Δύο Ελατήρια – Δύο Τροχαλίες – Νήματα

tiger in sunset

Η τίγρης ξεκουράζεται , με το τέλος της μέρας .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Δύο Ελατήρια – Δύο Τροχαλίες – Νήματα

Τα ελατήρια του σχήματος έχουν αντίστοιχες σταθερές k1 και k2 ενώ η μάζα του σχήματος Σ είναι m . Οι μάζες των τροχαλιών , των ελατηρίων και του νήματος είναι αμελητέες .

C kat 2 elat 2 trox nimata sx 1_1

Εκτρέπουμε από τη θέση ισορροπίας κατακόρυφα προς τα κάτω το σώμα Σ και το αφήνουμε να κινηθεί .

Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντωσης .

Λύση

Το ελατήριο k1 έχει επιμηκυνθεί κατά Δl1 από την θέση φυσικού μήκους , ενώ το ελατήριο k2 έχει επιμηκυνθεί κατά Δl2 από την θέση φυσικού μήκους .

C kat 2 elat 2 trox nimata sx 2_1

Από την ισορροπία του σώματος Σ , έχουμε :

ΣFm = 0 ⇒

m·g – F1 = 0 ⇒

F1 = m·g .

Από την ισορροπία της τροχαλίας 1 , έχουμε :

ΣF1 = 0 ⇒

F1,ελ – Τ1 – Τ1΄ = 0 ⇒

F1,ελ = Τ1 + Τ1΄ ⇒

όμως F1 = Τ1 = Τ1΄ = m·g ,

F1,ελ = 2·m·g … (1) .

Από την ισορροπία της τροχαλίας 2 , έχουμε :

ΣF2 = 0 ⇒

Τ2 + Τ2΄ – F2,ελ = 0 ⇒

F2,ελ = Τ2 + Τ2΄ ⇒

F2,ελ = 2·Τ2 ⇒

επίσης Τ1΄ = Τ2 = Τ2΄ = F1 = m·g ,

F2,ελ = 2·m·g ⇒

k2·Δl= 2·m·g … (2) .

To σώμα Σ βρίσκεται σε μια τυχαία θέση y κάτω από την θέση ισορροπίας .

Το ελατήριο k1 επιμηκύνεται επιπλέον κατά y1 και το ελατήριο k2 επιμηκύνεται επιπλέον κατά y2 .

C kat 2 elat 2 trox nimata sx 3_1

Το μήκος του νήματος είναι σταθερό , δεν μεταβάλλεται κατά την κίνηση του σώματος .

l1 + l2 + l3 = l1΄ + l2΄ + l3΄ .

Από το σχήμα έχουμε :

l1΄ = l1 – y1 + y ,

l2΄ = l2 – y1 – y2 ,

l3΄ = l3 – y2 .

Προσθέτουμε τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη :

l1΄ + l2΄ + l3΄ = l1 + l2 + l3 – 2·y1 – 2·y2 + y ⇒

2·(y1 + y2) = y ⇒

y1 + y2 = y / 2 … (3) .

Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για την τυχαία θέση του σώματος Σ μας δίνει :

ΣF = m·g – F1΄ .

Επίσης από την τροχαλία 1 , έχουμε :

F1,ελ΄ – Τ1΄΄ – Τ1΄΄΄ = 0 ⇒

F1,ελ΄ = 2·Τ1΄΄ ⇒

F1,ελ΄ = 2·F1΄ ⇒

k1·(Δl+ y1) = 2·F1΄ … (4) .

C kat 2 elat 2 trox nimata sx 3_1

Επίσης από την τροχαλία 2 , έχουμε :

F2,ελ΄ – Τ2΄΄ – Τ2΄΄ = 0 ⇒

k2·(Δl+ y2) = 2·T2΄΄ ⇒

k2·(Δl+ y2) = 2·F1΄ … (5) .

Από τις σχέσεις (4) , (5) , (1) και (2) , έχουμε :

k2·(Δl+ y2) = k1·(Δl+ y1) ⇒

k1·y= k2·y… (6) .

Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα για το σώμα , έχουμε :

ΣF = m·g – F1΄ ⇒

ΣF = m·g – [(k/ 2)·(Δl+ y1)] ⇒

2·m·g = k1·Δl,

ΣF = – (k/ 2)·y1 .

Επίσης :

y1 + y2 = y / 2 .

Και

k1·y= k2·y

y= (k/ k2)·y.

Επομένως :

y1 + (k/ k2)·y= y / 2 ⇒

y1·[1 + (k/ k2)] = y / 2 ⇒

y1·[(k+ k2) / k2] = y / 2 ⇒

y= (y / 2)·[k/ (k+ k2)] .

Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα :

ΣF = – (k/ 2)·y

ΣF = – (k/ 2)·[k/ (k+ k2)]·(y / 2) ⇒

ΣF = – {(k1·k2) / [4·(k+ k2)]·y .

Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς :

D = (k1·k2) / [4·(k+ k2)]

και περίοδο ταλάντωσης :

Τ = 2·π·√(m / D) ⇒

Τ = 2·π·√[4·m·(k+ k2) / (k1·k2)] ⇒

Τ = 4·π·√[m·(k+ k2) / (k1·k2)]  .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Δύο Ελατήρια – Δύο Τροχαλίες – Νήματα

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s