Δύο ελατήρια και ισορροπία ράβδου

honey-bee

Μια μέλισσα σε απεικόνιση του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Δύο ελατήρια και ισορροπία ράβδου

Ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l στηρίζεται πάνω σε δύο κατακόρυφα ελατήρια του ίδιου μήκους των οποίων οι σταθερές αντίστοιχα είναι kκαι k.

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια , ενώ κάθε ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά y, τότε κάθε ελατήριο υποβαστάζει ένα τμήμα του βάρους της ράβδου .

dio elatiria kai isoropia ravdou sx 1_1

α. Καθορίστε τις θέσεις των Οκαι Ο, με τις αντίστοιχες αποστάσεις xκαι xαυτών από το μέσο Γ της ράβδου , γνωρίζοντας ότι το Οκαι Οείναι τα μέσα των δύο τμημάτων της ράβδου , στα οποία στηρίζονται τα δύο ελατήρια .

β. Αν απομακρύνουμε κατακόρυφα την ράβδο και την αφήσουμε να ταλαντωθεί ποια είναι η περίοδος της ταλάντωσης .

Να θεωρηθεί ότι η ράβδος μένει οριζόντια σε όλη την διάρκεια της κίνησης.

Σχόλιο 

Ο συγγραφέας της άσκησης στη προσπάθεια του να πρωτοτυπήσει δημιούργησε ένα θέμα που καταστρατηγεί την φυσική πραγματικότητα. Φταίμε εμείς που διαλέξαμε και παρουσιάσαμε το θέμα, αλλά αφού αυτό ήδη έγινε, ας κερδίσουν διδακτικά καθηγητές και μαθητές από το λάθος αυτό.

Ο συνάδελφος (επιπέδου) Δημήτρης Γκενές (τον ευχαριστούμε) ,

από την στενή και κορυφαία ομάδα του ylikonet δίνει την πραγματική και φυσικά σωστή συμπεριφορά του συστήματος ράβδου και των δύο ελατηρίων .

Το σχόλιο :

Έστω ότι η ράβδος ισορροπεί οριζόντια με τα δυο ελατήρια (k1, k2) αντίστοιχα στις θέσεις x= (l / 2)·[(k/ (k+ k2)] είναι συσπειρωμένα κατά y= y= yο.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι σε οποιαδήποτε άλλη οριζόντια θέση y΄= y΄= yο + y , η ράβδος δεν ισορροπεί στροφικά και άρα για να παραμείνει οριζόντια πρέπει να ασκηθεί εξωτερική ροπή.

Αν δεν παραμείνει οριζόντια τότε η σχέση :

ΣFy΄ = m·g – (k+ k2)·y– (k+ k2)·y 

δεν ισχύει αλλά επειδή y΄1 διάφορο του y΄2

Ισχύει :

ΣFy΄ = m·g – (k+ k2)·y– k1·y΄– k2·y΄2 

δηλαδή ,

ΣFy΄ = – k1·y΄– k2·y΄2 

Η ράβδος συνεπώς ταλαντώνεται μεταφορικά και στροφικά αλλά όχι αρμονικά.

Σχόλιο της σελίδας :

Ανάλυση του επιπέδου του Δημήτρη Γκενέ, ενός δασκάλου για εμάς τους καθηγητές.

Λύση

α.

Το σημείο Α΄ είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Ο, ΑΟ= Ο1Α΄ .

Το τμήμα της ράβδου ΑΑ΄ υποβαστάζεται από το ελατήριο σταθεράς k.

Το τμήμα Α΄Β με μέσο το Ουποβαστάζεται από το ελατήριο k.

Α΄Ο= Ο2B .

Έχουμε :

ΑΒ = ΑΑ΄ + Α΄Β ⇒

ΑΒ = 2·Ο1Α΄ + 2·Α΄Ο

l = 2·(Ο1Α΄ + Α΄Ο2) ⇒

l = 2·(x+ x2) ⇒

x+ x2 = l / 2 … (1) .

1ος τρόπος

dio elatiria kai isoropia ravdou sx 1_2

Οι δυνάμεις που ασκούνται από τα ελατήρια στη ράβδο :

F= k1·y0  και  F= k2·y0  .

Ισχύει :

w+ w= w , όπου w το βάρος της ράβδου .

Το σύστημα ισορροπεί :

F= w,

F= w,

F+ F= w .

Έστω ότι η ομογενής ράβδος έχει μάζα m , η μάζα ανά μονάδα μήκους είναι m / l (γραμμική πυκνότητα) .

Το τμήμα ΑΑ΄ έχει μάζα :

m= (m / l)·2·(AO1) ⇒

m= (m / l)·2·[(l / 2) – x1] ⇒

m= (m / l)·(l – 2·x1) … (2) .

Το τμήμα Α΄Β έχει μάζα :

m= (m / l)·2·(O2Β) ⇒

m= (m / l)·2·[(l / 2) – x2] ⇒

m= (m / l)·(l – 2·x2) … (3) .

Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις

F= w1  και  F+ F= w ⇒

F/ (F+ F2) = w1 / w ⇒

k1·y0 / [(k+ k2)·y0] = (m1·g) / (m·g) ⇒

k1 / (k+ k2) = m1 / m ⇒

k1 / (k+ k2) = [l – (2·x1)] / l ⇒

2·x= l – [k1 / (k+ k2)]·l ⇒

2·x= l·{1 – [k1 / (k+ k2)]} ⇒

2·x= l·[k2 / (k+ k2)] ⇒

x= (l / 2)·[k2 / (k+ k2)] .

Ομοίως

F/ (F+ F2) = w/ w ⇒

k2·y0 / [(k+ k2)·y0] = (m2·g) / (m·g) ⇒

k2 / (k+ k2) = m2 / m ⇒

k2 / (k+ k2) = [l – (2·x2)] / l ⇒

2·x= l – [k2 / (k+ k2)]·l ⇒

2·x= l·{1 – [k2 / (k+ k2)]} ⇒

2·x= l·[k1 / (k+ k2)] ⇒

x= (l / 2)·[k1 / (k+ k2)] .

2ος τρόπος

dio elatiria kai isoropia ravdou sx 1_2

(προϋποθέτει ότι έχει διδαχτεί το κεφάλαιο των περιστροφών , να διαβαστεί στην επανάληψη)

Από την ισορροπία της ράβδου το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε σημείο της είναι μηδέν . Ροπές ως προς το μέσο Γ :

ΣτΓ = 0 ⇒

F1·x– F2·x= 0 ⇒

F1·x= F2·x

k1·y0·x= k2·y0·x

k1·x= k2·x.

x= (k/ k2)·x… (4) .

Από την σχέση (1) και (4) , έχουμε :

x+ x2 = l / 2 ⇒

x+ (k/ k2)·x= l / 2 ⇒

x1·[1 + (k/ k2)] = l / 2 ⇒

x1·[(k+ k2) / k2] = l / 2 ⇒

x= (l / 2)·[(k/ (k+ k2)] .

Και

x= (l / 2) – x

x= (l / 2) – (l / 2)·[(k/ (k+ k2)] ⇒

x= (l / 2)·{1 – [(k/ (k+ k2)]} ⇒

x= (l / 2)·[(k/ (k+ k2)] .

β.

dio elatiria kai isoropia ravdou sx 2_1

Η ράβδος ισορροπεί :

ΣF= 0 ⇒

F+ F– w = 0 ⇒

F+ F= w ⇒

k1·y+ k2·y= m·g ⇒

(k+ k2)·y= m·g .

Στη τυχαία θέση :

ΣFy΄ = w – F1΄ – F2΄ ⇒

ΣFy΄ = m·g – k1·(y+ y) – k2·(y+ y) ⇒

ΣFy΄ = m·g – (k+ k2)·y– (k+ k2)·y ⇒

ισχύει : (k+ k2)·y= m·g ,

ΣFy΄ = – (k+ k2)·y ,

άρα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D = k+ k.

H περίοδος της ταλάντωσης :

Τ = 2·π·√(m / D) ⇒

Τ = 2·π·√[m / (k+ k2)] .

Από την σχέση ισορροπίας :

(k+ k2)·y= m·g ⇒

m / (k+ k2) = y/ g .

Άρα η περίοδος :

Τ = 2·π·√(y/ g) .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Δύο ελατήρια και ισορροπία ράβδου

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s