Ταλάντωση σε υπόγεια σήραγγα

underground tunnel

Μια υπόγεια σήραγγα .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Ταλάντωση σε υπόγεια σήραγγα

Υποθέτουμε τη Γη σφαίρα , ψυχρή , ακίνητη και ομογενή . Κατασκευάζουμε μια σήραγγα ΑΒ που σχηματίζει γωνία α ως προς το επίπεδο του ισημερινού .

Σε απόσταση λ από το στόμιο Α της σήραγγας εγκαταλείπουμε (χωρίς αρχική ταχύτητα) ένα όχημα Γ το οποίο μπορεί να γλιστρά χωρίς τριβή μέσα στη σήραγγα .

C kat talantosi se ipogeia siragga sx 1_1

Δείξτε ότι αυτό θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και υπολογίστε την περίοδο Τ αυτής , συναρτήσει της ακτίνας R της Γης και του g στην επιφάνεια της Γης .

Σημείωση : Να λάβετε υπόψη ότι ένα σώμα μέσα στην Γη έλκεται μόνο από το τμήμα της Γης , το οποίο περιέχεται μέσα στην συγκεντρική σφαίρα που έχει ακτίνα την απόσταση του σώματος από το κέντρο της Γης .

Δίνεται η σχέση της επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης : g = G·MΓ / R² .

Λύση

Η μάζα της Γης δίνεται από την σχέση :

ΜΓ = ρ·VΓ 

ΜΓ = ρ·(4 / 3)·π·R³ .

Όπου ρ η πυκνότητα που θεωρούμε σταθερή .

Η μάζα της Γης που περιέχεται σε σφαίρα ακτίνας r είναι :

mΓ = ρ·VΓ 

mΓ = ρ·(4 / 3)·π·r³ .

C kat talantosi se ipogeia siragga sx 1_2

To βάρος του σώματος μάζας m που βρίσκεται στο εσωτερικό της Γης και σε απόσταση r από το κέντρο της Γης , είναι w = m·gΓ .

Στην επιφάνεια της Γης :

g = G·(MΓ / R²)

και

gΓ = G·(mΓ / r²)

Επομένως :

gΓ / g = (mΓ / MΓ)·(R² / r²) ⇒

ισχύει mΓ / MΓ = r³ / R³ ,

gΓ / g = r / R ⇒

gΓ = (r / R)·g .

Εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Νεύτωνα στον άξονα x΄x (κατά μήκος της σήραγγας) για το σώμα που απέχει απόσταση x από το σημείο Ο που είναι το ίχνος της απόστασης του κέντρου της Γης από την σήραγγα .

C kat talantosi se ipogeia siragga sx 1_2

Στο σημείο Ο η wx = 0 .

ΣF = – wx ⇒

ΣF = – m·gΓ·συν φ ⇒

ΣF = – m·(r / R)·g·συν φ .

Ισχύει :

συν φ = ΟΚ / ΚΓ ⇒

συν φ = x / r .

Επομένως :

ΣF = – m·(r / R)·g·(x / r) ⇒

ΣF = – (m·g / R)·x ,

η σχέση είναι της μορφής ΣF = – D·x , άρα το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς :

D = m·g / R .

H περίοδος είναι :

Τ = 2·π·√(m / D) ⇒

Τ = 2·π·√[m / (m·g / R)] ⇒

Τ = 2·π·√(R / g) , το g είναι στην επιφάνεια της Γης .

Το πλάτος της ταλάντωσης είναι :

Α = ΟΑ – λ ⇒

Α = ΟΒ – λ ⇒

Α = R·συν α – λ .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Ταλάντωση σε υπόγεια σήραγγα

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s