Μαθηματική εξίσωση του κύματος ΙV

empty waves

Κύματα της θάλασσας .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Μαθηματική εξίσωση του κύματος ΙV

Η κυματοσυνάρτηση αρμονικού κύματος είναι :
y = – 0,6·ημ (4·π·x – 2·π·t) , (S.I.)
Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο των αξόνων του συστήματος
συντεταγμένων xOy και αρχίζει την ταλάντωσή της τη στιγμή t = 0 .
α. Ποια χρονική στιγμή αρχίζει να ταλαντώνεται σημείο Κ του άξονα x με xΚ = 3,5 m ;
Ποια η απομάκρυνση σημείου Μ του ίδιου άξονα με xΜ = 2,25 m την παραπάνω
χρονική στιγμή ;
β. Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Μ και Κ .

γ. Ποιες χρονικές στιγμές το μέσο Ν του τμήματος ΜΚ έχει απομάκρυνση y = 0,3 m ;

δ. Να προσδιοριστούν τα σημεία μεταξύ Μ και Κ που έχουν απομάκρυνση y = 0 την
στιγμή t = 10 s .

Λύση

α.

Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική σχέση – ημ φ = ημ (- φ) , έχουμε :

– 0,6·ημ (4·π·x – 2·π·t) = 0,6·ημ [- (4·π·x – 2·π·t)] ,

Επομένως ,

y = 0,6·ημ (2·π·t – 4·π·x) , (S.I.) .

Την χρονική στιγμή tΚ που αρχίζει την ταλάντωση το σημείο Κ με xΚ = 3,5 m , η φάση του φΚ = 0 .

φΚ = 2·π·t – 4·π·xΚ ⇒

φΚ = 2·π·t – 4·π·3,5 ⇒

φΚ = 2·π·t – 14·π , για t = tΚ το φΚ = 0 , επομένως :

2·π·tΚ – 14·π = 0 ⇒

tΚ = 7 s .

Υπολογισμός της απομάκρυνσης του σημείου Μ με xΜ = 2,25 m την χρονική στιγμή tΚ = 7 s :

yΜ = 0,6·ημ (2·π·t – 4·π·xΜ) ⇒

την χρονική στιγμή tΚ = 7 s ,

yΜ = 0,6·ημ (2·π·7 – 4·π·2,25) ⇒

yΜ = 0,6·ημ (14·π – 9·π) ⇒

yΜ = 0,6·ημ 5·π ⇒

yΜ = 0 .

β.

Διαφορά φάσης μεταξύ των Μ και Κ :

ΔφΜ,Κ = φΜ – φΚ ⇒

ΔφΜ,Κ = (2·π·t – 4·π·xΜ) – (2·π·t – 4·π·xΚ) ⇒

ΔφΜ,Κ = 4·π·(xΚ – xΜ) ⇒

ΔφΜ,Κ = 4·π·(3,5 – 2,25) ⇒

ΔφΜ,Κ = 4·π·1,25 ⇒

ΔφΜ,Κ = 5·π rad .

γ.

Το μέσο Ν του τμήματος ΜΚ βρίσκεται στην θέση :

xΝ = (xΜ + xΚ) / 2 ⇒

xΝ = (2,25 + 3,5) / 2 ⇒

xΝ = 5,75 / 2 ⇒

xΝ = 2,875 m .

Άρα :

yΝ = 0,6·ημ (2·π·t – 4·π·xΝ) ⇒

xΝ = 2,875 m και yΝ = 0,3 m ,

0,3 = 0,6·ημ (2·π·t – 4·π·2,875) ⇒

ημ (2·π·t – 11,5·π) = 1 / 2 ⇒

2·π·t – 11,5·π = 2·κ·π + (π / 6) … (1) ,

2·π·t – 11,5·π = 2·κ·π + (5·π / 6) … (2) .

Η λύση της (1) :

2·π·t – 11,5·π = 2·κ·π + (π / 6) ⇒

2·π·t = 2·κ·π + 11·π + [(π / 2) + (π / 6)] ⇒

t = κ + (11 / 2) + (1 / 4) + (1 / 12) ⇒

t = (6·κ + 35) / 6 s .

Η λύση της (2) :

2·π·t – 11,5·π = 2·κ·π + (5·π / 6) ⇒

2·t = 2·κ + 11·π + [(1 / 2) + (5 / 6)] ⇒

t = κ + (11 / 2) + (1 / 4) + (5 / 12) ⇒

t = (12·κ + 74) / 12 s .

Έχουμε δύο ομάδες λύσεων .

δ.

Την χρονική στιγμή t = 10 s το κύμα έχει προσπεράσει το σημείο xΚ = 3,5 m για tΚ = 7 s , επομένως όλα τα σημεία μεταξύ Μ και Κ ταλαντώνονται .

Για τα σημεία που ταλαντώνονται , έχουμε :

y = 0,6·ημ (2·π·t – 4·π·x) ⇒

την χρονική t = 10 s ,

y= 0,6·ημ (2·π·10 – 4·π·x) ⇒

y= 0,6·ημ (20·π – 4·π·x) ⇒

θέλουμε τα σημεία που έχουν y= 0 ,

0 = 0,6·ημ (20·π – 4·π·x) ⇒

ημ (20·π – 4·π·x) = 0 ⇒

20·π – 4·π·x = κ·π ⇒

4·x = 20 – κ ⇒

x = 5 – (κ / 4) .

Το x θέλουμε να βρίσκεται μεταξύ Μ και Κ , άρα ισχύει :

xM < x < x

2,25 < [5 – (κ / 4)] < 3,5 ⇒

– 3,5 < [(κ / 4) – 5] < – 2,25 ⇒

1,5 < κ / 4 < 2,75 ⇒

6 < κ < 11 .

Άρα κ = 7 , 8 , 9 , 10 και τα σημεία βρίσκονται στις θέσεις :

κ = 10 : x1 = (20 – 10) / 4 ⇒ x1 = 2,5 m .

κ = 9 : x2 = (20 – 9) / 4 ⇒ x2 = 2,75 m .

κ = 8 : x3 = (20 – 8) / 4 ⇒ x3 = 3 m .

κ = 7 : x4 = (20 – 7) / 4 ⇒ x4 = 3,25 m .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Μαθηματική εξίσωση του κύματος ΙV

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s