Μαθηματική εξίσωση του κύματος VI

surealistic trees in water and

Καλοκαιρινή φαντασίωση .

Άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Μαθηματική εξίσωση του κύματος VI

Υλικό σημείο ελαστικού μέσου, που βρίσκεται στην αρχή Ο συστήματος συντεταγμένων xOy, αρχίζει τη στιγμή t = 0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στη διεύθυνση y με συχνότητα 2 Ηz και πλάτος 0,12 m . Η φάση του τη στιγμή t = 0 είναι φ = 0 . Η
ταλάντωση διαδίδεται στη διεύθυνση Οx με ταχύτητα 2 m / s .

Να βρεθούν :

α. Η θέση σημείου Α του Οx αν γνωρίζουμε ότι αυτό έχει τη μέγιστη (θετική) απομάκρυνση για 3η φορά τη στιγμή t = 4 s .

β. Οι θέσεις των σημείων του άξονα x που έχουν με το Α διαφορά φάσης 3π / 4 .

Λύση

α.

Από την βασική εξίσωση της κυματικής :

υ = λ·f ⇒

λ = υ / f ⇒

λ = 2 / 2 ⇒

λ = 1 m .

Σχέση περιόδου και συχνότητας :

Τ = 1 / f ⇒

T = 1 / 2 = 0,5 s .

Σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση του σημείου Α , yA = f(t) για 0 ≤ t ≤ 4 s

C kat ejisosi kimatos VI_1

H φάση του Α :

φA = 4·π + (π / 2) ⇒

φA = 4,5·π rad την χρονική στιγμή t = 4 s .

Εξίσωση του κύματος :

y = A·ημ 2·π·[(t / T) – (x / λ)] ⇒

y = A·ημ (4·π·t – 2·π·x) , (S.I.) .

Άρα :

φA = 4·π·t – 2·π·xA , για t = 4 s , φA = 4,5·π rad ,

4,5·π = 4·π·4 – 2·π·xA ⇒

2·π·xA = 11,5·π ⇒

xA = 11,5 / 2 ⇒

xA = 5,75 m .

β.

Υπάρχει το σημείο Κ που προηγείται σε φάση (3·π / 4) rad του Α με συντεταγμένη xΚ και έτσι :

ΔφΚΑ = φΚ – φΑ ⇒

ΔφΚΑ = (4·π·t – 2·π·xΚ) – (4·π·t – 2·π·xΑ) ⇒

(3·π / 4) = 2·π·(xΑ – xΚ) ⇒

3 / 4 = 2·xΑ – 2·xΚ ⇒

2·xΚ = 2·xΑ – (3 / 4) ⇒

2·xΚ = 10,75 ⇒

xΚ = 10,75 / 2 ⇒

xΚ = 5,375 m .

Υπάρχει σημείο Λ που καθυστερεί σε σχέση με το Α κατά (3·π / 4) rad με συντεταγμένη xΛ και έτσι :

ΔφΑΛ = φΑ – φΛ ⇒

(3·π / 4) = 2·π·(xΛ – xΑ) ⇒

2·xΛ = (3 / 4) + 2·xΑ ⇒

2·xΛ = 12,25 ⇒

xΛ = 12,25 / 2 ⇒

xΛ = 6,125 m .

2ος τρόπος για το ερώτημα α

Κατασκευάζουμε το στιγμιότυπο την χρονική στιγμή t = 4 s .

y = ymax·ημ (4·π·4 – 2·π·x) , (S.I.) .

y = ymax·ημ (16·π – 2·π·x) .

Η φάση του Ο , x = 0 είναι :

φΟ = 16·π – 2·π·0 ⇒

φΟ = 8·2·π rad .

Ισχύει :

d = 8·λ ⇒

d = 8 m .

C kat ejisosi kimatos VI_2

xP – xA = 2·λ + (λ / 4) ⇒

xA = xP – (9·λ / 4) ⇒

xA = 8 – (9 / 4) ⇒

xA = 8 – 2,25 ⇒

xA = 5,75 m .

3ος τρόπος για το ερώτημα α

Βρίσκουμε όλα τα σημεία που την χρονική στιγμή t = 4 s έχουν :

y = ymax (θετικό) ,

y = ymax·ημ (16·π – 2·π·x) , (S.I.) .

y = ymax·ημ (16·π – 2·π·x) ⇒

ημ (16·π – 2·π·x) = 1 ⇒

16·π – 2·π·x = 2·κ·π + (π / 2) ⇒

2·π·x = 16·π – 2·κ·π – (π / 2) ⇒

2·x = 16 – (1 / 2) – 2·κ ⇒

2·x = 15,5 – 2·κ ⇒

x = 7,75 – κ .

Για κ = 0 βρίσκουμε το σημείο που βρίσκεται για 1η φορά στην  ymax .

Για κ = 1 βρίσκουμε το σημείο που βρίσκεται για 2η φορά στην  ymax .

Για κ = 2 βρίσκουμε το σημείο που βρίσκεται για 3η φορά στην  ymax .

x = 7,75 – κ ⇒

xΑ = 7,75 – 2 ⇒

xΑ = 5,75 m .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Μαθηματική εξίσωση του κύματος VI

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s