Στάσιμα κύματα ΙV

wild rabbits

Αγριοκούνελα .

Άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Στάσιμα κύματα ΙV

Δύο κύματα που περιγράφονται στο (S.I.) από τις συναρτήσεις :

y1 = 0,12·ημ [4·π·t – (5·π·x / 3)] και y2 = 0,12·ημ [4·π·t + (5·π·x /3)] ,

διαδίδονται κατά μήκος του άξονα x και από τη συμβολή τους προκύπτει στάσιμο
κύμα.

α. Να δοθεί η y = f(t,x) για το στάσιμο κύμα ,

β. Θεωρούμε ένα σημείο Μ του ημιάξονα Οx όπου υπάρχει η 4η κοιλία από το Ο, συμπεριλαμβανομένης και αυτής στο Ο. Να βρεθεί η απόσταση ΟΜ και ο αριθμός
των δεσμών μεταξύ Ο και Μ ,

γ. Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης σημείου Ν του Οx με xN = 0,15 m . Ποια σημεία
μεταξύ Ο και Μ ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος ;

δ. Να βρεθεί η απομάκρυνση του Ν τη στιγμή t = (65 / 16) s ,

ε. Ποιες χρονικές στιγμές η απομάκρυνση του Ν είναι y = 0,12 m ;

Λύση

α.

Τα κύματα που συμβάλουν είναι :

y1 = 0,12·ημ [4·π·t – (5·π·x / 3)] και y2 = 0,12·ημ [4·π·t + (5·π·x /3)] ,

Αν αντιστοιχίσουμε το y1 με την εξίσωση κύματος :

y1 = Α·ημ [(2·π·t / T) – (2·π·x / λ)] ,

θα έχουμε :

(2·π·t / T) = 4·π·t ⇒

Τ = ½ s .

Και

(2·π·x / λ) = (5·π·x / 3) ⇒

λ = 6 / 5 ⇒

λ = 1,2 m .

H εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι :

y = 2·A·συν (2·π·x / λ)·ημ (2·π·t / T) ⇒

με αντικατάσταση έχουμε :

y = 0,24·συν [5·π / 3)·x]·ημ (4·π·t) , (S.I.) .

β.

Τα σημεία στα οποία βρίσκονται κοιλίες στον ημιάξονα Οx δίνονται από την σχέση :

xκ = Ν·(λ / 2) , με Ν = 0 , 1 , 2 , 3 , …

η 4η κοιλία είναι για Ν = 3 :

xΜ = 3·(λ / 2) ⇒

xΜ = 3·(1,2 / 2) ⇒

xΜ = 1,8 m .

H σχέση που δίνει τους δεσμούς είναι :

xΔ = (2·Ν + 1)·(λ / 4) ⇒

xΔ = (2·Ν + 1)·0,3 .

Πρέπει :

0 < (2·Ν + 1)·0,3 < 1,8 ⇒

(- 0,3) < 0,6·Ν < 1,5 ⇒

(- 0,5) < Ν < 2,5 .

Άρα Ν = 0 , 1 , 2  επομένως υπάρχουν τρεις (3) δεσμοί .

γ.

Το πλάτος του στάσιμου :

Α΄ = 2·Α·|συν (2·π·x / λ)| ⇒

για το σημείο Ν ,

ΑΝ΄ = 0,24·|συν [(5·π / 3)·0,15]| ⇒

ΑΝ΄ = 0,24·|συν (π / 4)| ⇒

ΑΝ΄ = 0,12·√2 m .

Εύρεση των σημείων μεταξύ Ο και Μ που έχουν πλάτος Α΄ = 0,12·√2 m :

Α΄ = 2·Α·|συν [(5·π / 3)·x]| ⇒

0,12·√2 = 2·0,12·|συν [(5·π / 3)·x]| ⇒

|συν [(5·π / 3)·x]| = √2 / 2 ⇒

(5·π / 3)·x = κ·π ± (π / 4) ⇒

x = (3 / 5)·κ ± (3 / 20) .

Πρώτη ομάδα λύσεων για :

x = (3 / 5)·κ + (3 / 20) , πρέπει :

0 < x < x

0 < (3 / 5)·κ + (3 / 20) < 1,8 ⇒

(- 3 / 20) < (3 / 5)·κ < 1,8 – (3 / 20) ⇒

(- 1 / 4) < κ < 3 – (1 / 4) ⇒

(- 0,25) < κ < 2,75 , όπου κ = 0 , 1 , 2 .

Επομένως :

κ = 0 :

x= (3 / 5)·0 + (3 / 20) ⇒

x= 0,15 m .

κ = 1 :

x= (3 / 5)·1 + (3 / 20) ⇒

x= 15 / 20 ⇒

x= 0,75 m .

κ = 2 :

x= (3 / 5)·2 + (3 / 20) ⇒

x= 27 / 20 ⇒

x= 1,35 m .

Δεύτερη ομάδα λύσεων για :

x = (3 / 5)·κ – (3 / 20) , πρέπει :

0 < x < x

0 < (3 / 5)·κ – (3 / 20) < 1,8 ⇒

3 / 20 < (3 / 5)·κ < 1,8 + (3 / 20) ⇒

1 / 4 < κ < 3 + (1 / 4) , όπου κ = 1 , 2 , 3 , επομένως ,

για κ = 1 :

x= (3 / 5)·1 – (3 / 20) ⇒

x= 9 / 20 ⇒

x= 0,45 m .

για κ = 2 :

x= (3 / 5)·2 – (3 / 20) ⇒

x= 21 / 20 ⇒

x= 1,05 m .

για κ = 3 :

x= (3 / 5)·3 – (3 / 20) ⇒

x= 33 / 20 ⇒

x= 1,65 m .

δ.

y = 0,24·συν [(5·π / 3)·x]·ημ (4·π·t) ⇒

xΝ = 0,15 m , tΝ = 65 / 16 s ,

yΝ = 0,24·συν [(5·π / 3)·0,15]·ημ [4·π·(65 / 16)] ⇒

yΝ = 0,24·συν (π / 4)·ημ (65·π / 4) ⇒

yΝ = 0,24·(√2 / 2)·ημ [16·π + (π / 4)] ⇒

yΝ = 0,24·(√2 / 2)·(√2 / 2) ⇒

yΝ = 0,12 m .

ε.

Υπολογισμός των χρονικών στιγμών που το Ν έχει απομάκρυνση y = 0,12 m .

yΝ = 0,12·√2·ημ (4·π·t) ⇒

0,12 = 0,12·√2·ημ (4·π·t) ⇒

ημ (4·π·t) = √2 / 2 ⇒

4·π·t = 2·κ·π + (π / 4) … (1) ,

4·π·t = 2·κ·π + (3·π / 4) … (2) .

Από την (1) έχουμε :

t = (κ / 2) + (1 / 16) ⇒

t = (8·κ + 1) / 16 .

Από την (2) έχουμε :

t = (κ / 2) + (3 / 16) ⇒

t = (8·κ + 3) / 16 .

Σχόλιο : Διδακτική άσκηση .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .

Advertisements

One thought on “Στάσιμα κύματα ΙV

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s