Υδροστατική πίεση στην Α.Α.Τ. και όριο θραύσης τοιχώματος δοχείου

Liquid-Drop-Art-Corrie

Liquid Drop Art.

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου.

Ένα θέμα στα ρευστά (το 49°), σε ένα καινούργιο κεφάλαιο της φυσικής της Γ΄ λυκείου. Τα ρευστά απασχολούν εξαίρετους συναδέλφους.

Σας παρουσιάζουμε μια όμορφη άσκηση που δημιούργησε – διαμόρφωσε

ο συνάδελφος (και φίλος) Ηλίας Χατζής

(τον ευχαριστούμε),

το θέμα αφορά τον συνδυασμό ταλάντωσης και ρευστών.

Υδροστατική πίεση στην Α.Α.Τ. και όριο θραύσης τοιχώματος δοχείου

talantosi se doxeio me igro

Έστω κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, το κάτω άκρο του οποίου είναι σταθερά συνδεδεμένο με το οριζόντιο έδαφος.

Στο άλλο του άκρο ισορροπεί οριζοντίως κλειστό αβαρές δοχείο, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με ύψος H, με ανένδοτα τοιχώματα το οποίο είναι  κολλημένο στο άνω άκρο του ελατηρίου και είναι τελείως γεμάτο με ιδανικό υγρό μάζας Μ και πυκνότητας ρ.

Σε σημείο Κ του δεξιού τοιχώματος του δοχείου και σε κατακόρυφη απόσταση  h από την επάνω επιφάνεια του δοχείου είναι συνδεδεμένο ένα μανόμετρο.

Δίνουμε στο δοχείο αρχική ταχύτητα υ0 με φορά προς τα πάνω οπότε αυτό ξεκινά να ταλαντώνεται.

Αν η επιτάγχυνση της βαρύτητας είναι g:

1. Να βρεθεί η σχέση της πίεσης PΚ που μετρά το μανόμετρο και της απομάκρυνσης του δοχείου από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

2. Nα γίνει το διάγραμμα PΚ – t.

3. Αν το όριο θραύσης μίας στοιχειώδους επιφάνειας εμβαδού S των τοιχωμάτων του δοχείου είναι δύναμη μέτρου Fθρ, να βρεθεί η μέγιστη τιμή της αρχικής ταχύτητας ώστε να μην σπάσει σε κανένα σημείο το δοχείο.

Λύση

Για την κυκλική συχνότητα ταλάντωσης ολόκληρου του δοχείου ισχύει:

ω = √(k / M) … (1.1).

Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης:

υ= ω·Α ⇒

Α = υ/ ω ⇒

Α = υ/ [√(k / M)] … (1.2).

Έστω τώρα κατακόρυφη κυλινδρική στήλη εμβαδού βάσης Sm, περιέχουσα μάζα υγρού m και βάθους h της οποίας η άνω επιφάνεια εφάπτεται με την άνω επιφάνεια του δοχείου.

talantosi se doxeio me igro

Η υγρή στήλη συμμετέχει στην ταλάντωση του δοχείου, συνεπώς ταλαντώνεται κι αυτή με κυκλική συχνότητα ω της σχέσης . Συνεπώς για την υγρή στήλη θα ισχύει:

ΣF = – Dm·x … (1.3).

Όπου προφανώς:

D= m·ω² = (m / M)·k … (1.4).

H  είναι η συνισταμένη δύο δυνάμεων, του βάρους  της υγρής στήλης και της ‘αντίδρασης’ Ν από το υποκείμενό της τμήμα υγρού (βλέπε σχήμα).

Οριζόντια κίνηση της υγρής στήλης δεν υπάρχει, διότι οποιεσδήποτε παράπλευρες δυνάμεις ασκούνται κατά την οριζόντια διεύθυνση έχουν μηδενική συνισταμένη.

Συνεπώς:

ΣF = N – m·g … (1.5).

Από τις σχέσεις (1.3) και (1.5) προκύπτει:

Ν = m·g – Dm·x = m·{g – [(k·x) / M)]} … (1.6).

Οπότε η πίεση στην κάτω βάση εμβαδού Sm της υγρής στήλης εξ’ αιτίας της Ν είναι:

P= N / Sm = (N·h) / (Sm·h) = (N·h) / V,

όπου προφανώς Vείναι ο όγκος της υγρής στήλης. Λαμβάνοντας υπ’ όψη και τη σχέση (1.6), προκύπτεί ότι:

P= ρ·{g – [(k / M)·x]}·h = ρ·g΄·h … (1.7).

Όπου:

g΄ = g – [(k / M)·x] … (1.8).

Δεδομένου ότι:

x = A·ημ (ω·t) … (1.9).

H σχέση (1.7) γίνεται:

P= ρ·{g – [(k / M)·x]}·h = ρ·g·h – ρ·[(k·h) / M]·ημ (ω·t) … (1.10).

talantosi se doxeio me igro 3

Η σχέση (1.7) είναι ο γνωστός μας θεμελιώδης νόμος της υδροστατικής, με τη σημαντική όμως διαφορά ότι είναι εκπεφρασμένος για μεταβλητή g΄.

Είναι σαφές ότι επειδή x ∈ [- A, A],

P∈ [ρ·{g – [(k / M)·A]}·h, ρ·{g + [(k / M)·A]}·h],

άρα:

PK,max = ρ·{g + [(k / M)·A]}·h … (1.11).

Δηλαδή για βάθος h, μέγιστη πίεση σε αυτό το βάθος εμφανίζεται όταν το δοχείο περνά από τη θέση – Α της ταλάντωσης.

Η μέγιστη τιμή πίεσης θα εμφανιστεί στο μέγιστο βάθος H, τις στιγμές που το δοχείο διέρχεται από τη θέση – A:

Pmax = ρ·{g + [(k / M)·A]}·H … (1.12).

Η δύναμη που ασκούμενη σε στοιχειώδη επιφάνεια εμβαδού S προκαλεί αυτή την πίεση είναι:

Fmax = ρ·{g + [(k / M)·A]}·H·S … (1.13).

Και για να μη σπάσει το δοχείο πρέπει:

Fmax ≤ Fθρ ,

απ’ όπου προκύπτει:

Α ≤ {[Fθρ / (ρ·H·S)] – g}·(M / k) … (1.14).

Ή λόγω της (1.2) τελικά:

υ≤ {[Fθρ / (ρ·H·S)] – g}·√(M / k) … (1.15).

Σχόλιο

Μια όμορφη λύση σε ένα ενδιαφέρον θέμα.

Ευχαριστούμε τον συνάδελφο Ηλία Χατζή.

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου.

Advertisements

5 thoughts on “Υδροστατική πίεση στην Α.Α.Τ. και όριο θραύσης τοιχώματος δοχείου

  1. Όταν σε ένα εμβόλο υπάρχει ελατήριο και σε αυτό ένα σώμα και το σύστημα ισορροπεί, το εμβόλο ποιες δυνάμεις δέχεται; δέχεται εκτός από το βάρος του, και του ελατηριου η και του βάρους του σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο? Ευχαριστώ εκ των προτέρων

    Αρέσει σε 1 άτομο

  2. Συγνώμη, η απάντηση έρχεται αργά.

    Στο έμβολο ασκούνται :

    Το βάρος του (μια δύναμη που ασκείται από την Γη)
    Μια δύναμη από το ελατήριο.

    Τα ελατήρια τα θεωρούμε αβαρή.
    Επειδή και το σώμα ισορροπεί το βάρος του σώματος είναι ίσο
    με την δύναμη που ασκείται από το ελατήριο στο σώμα.

    Μέσω λοιπόν της δύναμης του ελατηρίου που ασκείται
    στο έμβολο, υπάρχει η επίδραση του βάρους του σώματος.

    🙂 , ελπίζω να κατάλαβα την ερώτηση.

    Μου αρέσει!

  3. Γεια σας. Καλη χρονια και μπραβο για τη δουλεια σας.
    Εχω μια ερωτηση για την ασκηση με το υγρο σε κλειστο δοχειο, που ταλαντωνεται σε κατακορυφο ελατηριο.
    Στη στηλη του νερου, που σχεδιαζουμε δυναμεις, δεν ασκειται και μια δυναμη επαφης απο την πανω βαση του δοχειου, καθως η στηλη ταλαντωνεται ;
    Ευχαριστω πολυ

    Αρέσει σε 1 άτομο

    • Ενδιαφέρον ερώτημα. Θεωρώ (σκέψη της στιγμής) ότι η δύναμη από το πάνω τοίχωμα στη θεωρούμενη στοιχειώδη στήλη υγρού, θα εξουδετερώνεται από την δύναμη από το κάτω τοίχωμα στη θεωρούμενη στοιχειώδη ίδια στήλη υγρού. Δεν βρίσκω λόγω οι δυνάμεις αυτές να μην είναι ίσες την κάθε χρονική στιγμή.

      Μου αρέσει!

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s