Ομαλή κυκλική κίνηση και πλαστική κρούση Θέμα Δ

Liquid Jewel

Liquid Jewel.

Σας παρουσιάζουμε μια συνδυαστική άσκηση από την ομαλή κυκλική κίνηση και την ορμή.

Ένα θέμα που δημιούργησε και έλυσε ο Μαρίνος Ηλιόπουλος

(συνάδελφος, φίλος, συνδιαχειριστής της σελίδας)

Επιστρέψτε στη σελίδα των Δ θεμάτων στη Β τάξη της φυσικής προσανατολισμού. 

Ομαλή κυκλική κίνηση και πλαστική κρούση Θέμα Δ

Σφαίρα μάζας m1= 3 Kg  εκτελεί τμήμα ομαλής κυκλικής κίνησης περιόδου Τ πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την βοήθεια λείας ημικυλινδρικής επιφάνειας με κατακόρυφο άξονα  ακτίνας R = 4 m, με την οποία η σφαίρα είναι  σε επαφή .Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας της σφαίρας m1  είναι υ= 2 m / s .

omali kikliki kinisi kai plastiki krousi thema d sx 2_1

(Το σχήμα είναι μια κάτοψη, βλέπουμε δηλαδή το σχήμα από ψηλά. Η σφαίρα μάζας m1  κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και βρίσκεται σε επαφή με την ημικυλινδρική επιφάνεια, που είναι κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο.

omali kikliki kinisi kai plastiki krousi thema d sx 2_1

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε την μάζα m1  από μπροστά)

Τη στιγμή που η σφαίρα  m1  εξέρχεται από την κατακόρυφη ημικυλινδρική επιφάνεια συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά μα σφαίρα μάζας m= 1 Kg  και ταχύτητας μέτρου υ2 που κινείται πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο .

Το συσσωμάτωμα που προκύπτει κινείται πάνω στην διάμετρο της ημικυλινδρικής επιφάνειας και φτάνει στην απέναντι άκρη της  σε χρόνο Τ / π s μετά την κρούση .

Να υπολογιστούν :

Δ1. Το χρονικό διάστημα όπου η σφαίρα m1 είναι σε επαφή την κατακόρυφη ημικυλινδρική επιφάνεια .

Δ2. Η ταχύτητα του συσσωματώματος υΣ.

Δ3. Η ταχύτητα της σφαίρας m2.

Δ4. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας m1 , εξαιτίας της κρούσης.

Δ5. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σφαιρών κατά την κρούση.

Ο συνάδελφος Παπαδάκης Παντελεήμων, μέλος της στενής ομάδας του ylikonet μας προτείνει να προσθέσουμε:

Οι σφαίρες  m1 και m2 καθώς και το συσσωμάτωμα mΣ θεωρούνται σημειακές μάζες.

Λύση

Δ1.

Το χρονικό διάστημα Δt1  όπου η σφαίρα είναι σε επαφή με την ημικυλινδρική επιφάνεια είναι:

Δt1 = Τ / 2,

όπου Τ είναι η περίοδος της ομαλής κυκλικής κίνησης.

Η σχέση της ταχύτητας με την ακτίνα και την περίοδο:

υ1 = 2·π / Τ ⇒

Τ = 2·π / υ1 .

Άρα:

Δt1 = Τ / 2 ⇒

Δt1 = (1 / 2)·(2·π·R / υ1)] ⇒

Δt1 = π·R / υ

Δt1 = π·4 / 2 ⇒

Δt1 = 2·π s.

Δ2.

Το συσσωμάτωμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω στην διάμετρο.

Επομένως:

υΣ = ΔxΣ / ΔtΣ ⇒

υΣ = [2·R / (T  / π)] ⇒

υΣ = (2·π·R) / T

Ισχύει υΣ = υ1 = 2 m / s.

omali kikliki kinisi kai plastiki krousi thema d sx 3_1

Η κατεύθυνση της υΣ είναι κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας υ1 της σφαίρας m1 ελάχιστα πριν την κρούση.

Δ3.

Το μέτρο της ορμής της σφαίρας m1 ελάχιστα πριν την κρούση, είναι:

Ρ1 = m1·υ

Ρ1 = 3·2 = 6 kg·m / s.

Το μέτρο της ορμής της σφαίρας m2 ελάχιστα πριν την κρούση, είναι:

Ρ2 = m2·υ2 .

Το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος mΣ ελάχιστα μετά την κρούση, είναι:

ΡΣ = mΣ·υΣ 

(ισχύει mΣ = m+ m2)

ΡΣ = (m+ m2)·υΣ 

ΡΣ = (3 + 1)·2 = 8 kg·m / s.

Για την πλαστική κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής:

(για κάθε μονωμένο σύστημα σωμάτων, μια διανυσματική σχέση)

Ρολ,πριν = Ρολ,μετά ⇒

Ρ1 + Ρ2 = ΡΣ .

omali kikliki kinisi kai plastiki krousi thema d sx 4_1

Από το σχήμα, ισχύει για το μέτρο της Ρη σχέση:

Ρ2 = √(Ρ1² + ΡΣ²) ⇒

m2·υ2 = √(Ρ1² + ΡΣ²) ⇒

υ2 = √(Ρ1² + ΡΣ²) / m

υ2 = √(6² + 8²) / 1 

υ2 = 10 m / s.

Από το σχήμα, ισχύει για την διεύθυνση της Ρη σχέση:

εφ φ = Ρ/ ΡΣ 

εφ φ = 6 / 8 = 3 / 4.

Δ4.

Το μέτρο της ορμής της σφαίρας m1 ελάχιστα μετά την κρούση, είναι:

Ρ1΄ = m1·υΣ 

Ρ1΄ = 3·2 = 6 kg·m / s.

omali kikliki kinisi kai plastiki krousi thema d sx 4_2

Για το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας m1, έχουμε:

ΔΡ= √(Ρ1² + Ρ1΄²) ⇒

ΔΡ= Ρ1·√2 ⇒

ΔΡ= 6·√2 kg·m / s.

Και η γωνία θ (προσδιορισμός της διεύθυνσης) είναι:

θ = π /4 rad.

Δ5.

Για την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων, έχουμε:

ΔΚ = Κολ,τελ – Κολ,αρχ 

ΔΚ = (1 / 2)·(m+ m2)·υΣ² – [(1 / 2)·m1·υ1² + (1 / 2)·m2·υ2²] ⇒

ΔΚ = (1 / 2)·(3 + 1)·2² – [(1 / 2)·3·2² + (1 / 2)·1·10²] ⇒

ΔΚ = – 48 J.

Σχόλιο

Μια άσκηση διδακτική.

Επιστρέψτε στη σελίδα των Δ θεμάτων στη Β τάξη της φυσικής προσανατολισμού. 

Advertisements

One thought on “Ομαλή κυκλική κίνηση και πλαστική κρούση Θέμα Δ

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s