Ομαλή κυκλική κίνηση, πλαστική κρούση και οριζόντια βολή

liquid art

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Liquid art.

Σας παρουσιάζουμε μια συνδυαστική άσκηση από την ομαλή κυκλική κίνηση, την πλαστική κρούση και την οριζόντια βολή.

Επιστρέψτε στη σελίδα των Δ θεμάτων στη Β τάξη της φυσικής προσανατολισμού. 

Δείτε και αυτό.

Ομαλή κυκλική κίνηση, πλαστική κρούση και οριζόντια βολή

Σφαιρικό σώμα μάζας m= 1 kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l = 6 m, πάνω στο λείο τμήμα του οριζοντίου επιπέδου ενός τραπεζιού. Το σώμα mεκτελεί τεταρτοκύκλιο και φτάνει στο σημείο Ζ σε χρόνο Δt= π / 2 s.

kikliki ormi orizontia boli polla erotimata sx 1_1

 

Σφαιρικό σώμα μάζας m= 2 kg βρίσκεται στη θέση Α και με αρχική ταχύτητα υ0,2 = 20 m / s, πάνω στη μη λεία ακμή ΟΖ του ίδιου τραπεζιού. Ο συντελεστής της τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος μάζας mκαι της μη λείας ακμής του τραπεζίου ΟΖ είναι μ = 0,4. Το σώμα μάζας mφτάνει στη θέση Ζ σε χρονικό διάστημα Δt= 4 s.

Στο σημείο Ζ τα σώματα mκαι mσυγκρούονται και τους ασκούνται πολύ μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρονικό διάστημα, με αποτέλεσμα την δημιουργία συσσωματώματος.

Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται ελάχιστα μετά την κρούση, εκτελεί οριζόντια βολή από την γωνία Α του τραπεζιού, ύψους h και καταλήγει στο έδαφος που απέχει απόσταση S = 4 / 3 m. Το S είναι η οριζόντια μετατόπιση του συσσωματώματος κατά την οριζόντια βολή του, γιατί το συσσωμάτωμα πέφτει με γωνία θ σε σχέση με την ακμή του τραπεζιού ΟΖ.

Να υπολογίσετε:

Δ1Τον χρόνο που θα χρειαστεί το σώμα μάζας mγια να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή και την ταχύτητα που θα έχει το σώμα στο σημείο Ζ.

Δ2Την κεντρομόλο επιτάχυνση, την κεντρομόλο δύναμη καθώς και το έργο της δύναμης αυτής κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου.

Δ3Την ταχύτητα του σώματος μάζας mστο σημείο Ζ, την μετατόπιση του και το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα.

Δ4Την ορμή του συσσωματώματος ελάχιστα μετά την κρούση καθώς και την θερμική ενέργεια που έδωσε το σύστημα των δύο σωμάτων mκαι mκατά την διάρκεια της κρούσης.

Δ5Το ύψος του τραπεζιού από το έδαφος και την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος κατά την οριζόντια του βολή.

Δ6Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του συσσωματώματος την χρονική στιγμή t = 0,3 s μετά την κρούση.

Τα σφαιρικά σώματα μάζας mκαι μάζας mθεωρούνται υλικά σημεία.

Λύση

Δ1.

Ισχύει:

Δt= T/ 4 ⇒

T= 4·Δt

T= 4·(π / 2) ⇒

T= 2·π s.

H ταχύτητα του σώματος μάζας m1:

υ= (2·π·R) / T

(R = l = 6 m)

υ= (2·π·6) / (2·π) ⇒

υ= 6 m / s.

Δ2.

kikliki ormi orizontia boli polla erotimata sx 3_1

Η κεντρομόλος επιτάχυνση ακ του σώματος μάζας m1, είναι:

ακ = υ1² / R ⇒

(R = l = 6 m)

ακ = 6² / 6 = 6 m / s².

H κεντρομόλος δύναμη Fκ του σώματος μάζας m1, είναι:

Fκ = m1·ακ 

Fκ = (m1·υ1²) / R ⇒

Fκ = (1· 6²) / 6 ⇒

Fκ = 6 N.

Η κεντρομόλος δύναμη στην περίπτωση μας είναι η τάση του νήματος Τη δύναμη που ασκεί το νήμα στο σώμα μάζας m1.

Fκ = Τ1.

Tο έργο της κεντρομόλου δύναμης κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου (και σε κάθε τμήμα της κυκλικής του τροχιάς):

WFκ = 0, γιατί η κεντρομόλος δύναμη είναι κάθετη κάθε χρονική στιγμή, στην διεύθυνση της τροχιάς (εφαπτομενική σε κάθε σημείο της κυκλικής τροχιάς).

Δ3.

 

kikliki ormi orizontia boli polla erotimata sx 2_2

Το σώμα μάζας mεκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με την επίδραση της τριβής ολίσθησης Τ2.

Το σώμα μάζας mισορροπεί στον άξονα y:

ΣF2,y = 0 ⇒

N– w= 0 ⇒

N= w= m2·g.

Η τριβή ολίσθησης Τ2:

Τ= μ·Ν

Τ= μ·m2·g.

2ος νόμος του Νεύτωνα:

ΣF2,x = m2·α

T2 = m2·α

μ·m2·g = m2·α

α= μ·g ⇒

α= 0,4·10 ⇒

α= 4 m / s².

Η ταχύτητα του σώματος μάζας mδίνεται:

υ= υ0,2 – α2·Δt

υ= 20 – 4·4 ⇒

υ= 4 m / s.

Η μετατόπιση του σώματος μάζας mδίνεται:

Δx= υ0,2·Δt– (1 / 2)·α2·Δt2² ⇒

Δx= 20·4 – (1 / 2)·4·4² ⇒

Δx= 48 m.

Η τριβή ολίσθησης Τ2:

Τ= μ·m2·g ⇒

Τ= 0,4·2·10 ⇒

Τ= 8 Ν.

H συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα μάζας mείναι η τριβή ολίσθησης Τ2. Το έργο της τριβής ολίσθησης:

W= – T2·Δx

W= – 8·48 ⇒

W= – 384 J.

Δ4.

kikliki ormi orizontia boli polla erotimata sx 2_2

Τα σώματα mκαι mσυγκρούονται και τους ασκούνται πολύ μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρονικό διάστημα, άρα ισχύει η

Αρχή Διατήρησης της Ορμής:

(διανυσματική σχέση που ισχύει στο μονωμένο σύστημα σωμάτων mκαι mόπου ΣFεξ = 0)

Ρολ,πριν = Ρολ,μετά 

Ρ+ Ρ= Ρσυσ 

Ρσυσ = √(Ρ1² + Ρ2²) ⇒

Ρσυσ = √[(m1·υ1)² + (m2·υ2)²] ⇒

Ρσυσ = √[(1·6)² + (2·4)²] ⇒

Ρσυσ = 10 kg·m / s, το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος.

Υπολογίζουμε την διεύθυνση του συσσωματώματος:

εφ θ = Ρ/ Ρ2 ⇒

εφ θ = (m1·υ1) / (m2·υ2) ⇒

εφ θ = (1·6) / (2·4) ⇒

εφ θ = 3 / 4.

H ορμή του συσσωματώματος:

Ρσυσ = (m+ m2)·υσυσ ⇒

υσυσ = Ρσυσ / (m+ m2) ⇒

υσυσ = 10 / (1 + 2) ⇒

υσυσ = 10 / 3 m / s.

Η θερμική ενέργεια Q που απελευθερώνεται κατά την κρούση υπολογίζεται από την

Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας

(η γενικότερη μορφή, με ισχύ σε όλο το σύμπαν)

Κολ,πριν = Q + Κολ,μετά 

(αρχικά τα σώματα mκαι mέχουν κινητική ενέργεια, μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει κινητική ενέργεια και υπάρχει θερμική ενέργεια Q)

Q = Κολ,πριν – Κολ,μετά 

Q = [(1 / 2)·m1·υ1² + (1 / 2)·m2·υ2²] – (1 / 2)·(m+ m2)·υσυσ² ⇒

Q = [(1 / 2)·1·6² + (1 / 2)·2·4²] – (1 / 2)·(1 + 2)·(10 / 3)² ⇒

Q = 17,33 J.

Δ5.

kikliki ormi orizontia boli polla erotimata sx 2_3

Το συσσωμάτωμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά τον οριζόντιο άξονα (x άξονα της οριζόντιας βολής του, άξονας που σχηματίζει γωνία  με θ με την ΑΖ ακμή του τραπεζιού) :

υσυσ = x / t ⇒

(για x = S ο χρόνος t = tολ)

υσυσ = S / tολ 

tολ = S / υσυσ 

tολ = (4 / 3) / (10 / 3) ⇒

tολ = 0,4 s.

Το συνολικό ύψος που διανύει το συσσωμάτωμα μέχρι να φτάσει στο έδαφος, το ύψος του τραπεζιού):

y = (1 / 2)·g·tολ² ⇒

y = (1 / 2)·10·0,4² ⇒

y = 0,8 m.

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος κατά την οριζόντια του βολή υπολογίζεται:

Ενεργειακή λύση

Εφαρμόζουμε το

Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας για την οριζόντια βολή του συσσωματώματος

(άλλη έκφραση της γενικότερης Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας που ισχύει πάντα)

ΔΚ = W

ΔΚ = + (m+ m2)·g·h ⇒

ΔΚ = + (1 + 2)·10·0,8 ⇒

ΔΚ = + 24 J.

Η΄εφαρμόζουμε την

Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας

(άλλη έκφραση της γενικότερης Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας που ισχύει στο σύστημα συσσωματώματος – Γης εφόσον ασκείται στο συσσωμάτωμα μόνο η δύναμη του βάρους, μια διατηρητική δύναμη)

Kαρχ + Uαρχ = Kτελ + Uτελ 

Kτελ – Kαρχ = Uαρχ – Uτελ 

ΔΚ = (m+ m2)·g·(h – 0) .

Φτάσαμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

Κινηματική λύση

Η ταχύτητα του συσσωματώματος ελάχιστα πριν έρθει σε επαφή με το έδαφος,

το μέτρο της ταχύτητας:

υ = √(υσυσ² + υy²) ⇒

(η συνιστώσα της ταχύτητας στον y άξονα υy = g·tολ = 10·(0,4) = 4 m / s)

υ = √[(10 / 3)² + 4²] ⇒

υ = √[(100 / 9) + 16].

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος κατά την οριζόντια βολή:

ΔΚ = (1 / 2)·(m+ m2)·υ² – (1 / 2)·(m+ m2)·υσυσ² ⇒

ΔΚ = (1 / 2)·(1 + 2)·[(100 / 9) + 16] – (1 / 2)·(1 + 2)·(100 / 9) ⇒

ΔΚ = + 24 J.

Καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

Δ6.

kikliki ormi orizontia boli polla erotimata sx 4_1

Το ερώτημα αυτό δημιουργήθηκε από τον συνδιαχειριστή Μαρίνο Ηλιόπουλο.

ΔΚ / Δt = ΣF·υ·συν φ ⇒

(η ταχύτητα υ είναι η ταχύτητα του συσσωματώματος την χρονική στιγμή t που μας δίνεται)

ΔΚ / Δt = (m+ m2)·g·υ

ΔΚ / Δt = (m+ m2)·g·(g·t) ⇒

ΔΚ / Δt = (m+ m2)·g²·t ⇒

ΔΚ / Δt = (1 + 2)·10²·0,3 ⇒

ΔΚ / Δt = 90 J / s.

Ισχύει:

(ΔΚ / Δt) + (ΔU / Δt) = 0 ⇒

(γιατί η μηχανική ενέργεια διατηρείται κατά την οριζόντια βολή)

(ΔU / Δt) = – (ΔΚ / Δt) ⇒

(ΔU / Δt) = – 90 J / s.

Σχόλιο

Μια άσκηση διδακτική.

Επιστρέψτε στη σελίδα των Δ θεμάτων στη Β τάξη της φυσικής προσανατολισμού. 

Advertisements

3 thoughts on “Ομαλή κυκλική κίνηση, πλαστική κρούση και οριζόντια βολή

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s