Εξίσωση της συνέχειας – Εξίσωση του Bernoulli VI

Η δεξαμενή νερού μιας πόλης .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Ξεκινάμε μια νέα προσπάθεια δείτε εδώ .

Εξίσωση της συνέχειας – Εξίσωση του Bernoulli VI

Η δεξαμενή νερού περιέχει νερό (πυκνότητας ρ_νερ) ύψους H και έχει μια μικρή τρύπα σε βάθος h . To νερό που βγαίνει από την τρύπα διαγράφει την παραβολή που φαίνεται στην εικόνα και συναντά το έδαφος σε απόσταση x .

Αν θεωρήσουμε το ύψος H σταθερό , να βρείτε το βάθος h .

Δίνεται Η = 5 m και x = 3 m .

Λύση

Το νερό , βγαίνοντας από την μικρή τρύπα (σημείο Γ) θα εκτελέσει οριζόντια βολή .

(σύνθετη κίνηση)

Άξονας x :

x = υ_Γ·t ⇒

t = x / υ_Γ … (I) .

Άξονας y :

y = ½·g·t² ⇒

με την βοήθεια της εξίσωσης (Ι) ,

επίσης y = H – h ,

H – h = ½·g·(x / υ_Γ)² ⇒

H – h = ½·g·(x² / υ_Γ²) ⇒

υ_Γ² = g·x² / [2·(H – h)] ⇒

υ_Γ = x·√{g / [2·(H – h)]} … (II) .

Εξίσωση της συνέχειας για τις θέσεις Δ και Γ :

Α_Δ·υ_Δ = Α_Γ·υ_Γ ⇒

υ_Δ = υ_Γ·(Α_Γ / Α_Δ) .

Ισχύει Α_Δ >> Α_Γ ⇒

(Α_Γ / Α_Δ) << 1 ,

άρα ,

υ_Δ = 0 .

Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία Δ και Γ :

Ρ_Δ + ½·ρ_νερ·υ_Δ² + ρ_νερ·g·h = Ρ_Γ + ½·ρ_νερ·υ_Γ² ⇒

ισχύει Ρ_Δ = Ρ_Γ = Ρ_at ,

Ρ_Δ + ½·ρ_νερ·0² + ρ_νερ·g·h = Ρ_Δ + ½·ρ_νερ·υ_Γ² ⇒

ρ_νερ·g·h = ½·ρ_νερ·υ_Γ² ⇒

2·g·h = υ_Γ² ⇒

από την σχέση (ΙΙ) ,

2·g·h = x²·{g / [2·(H – h)]} ⇒

2·h = x² / [2·(H – h)] ⇒

(H – h)·h = x² / 4 ⇒

H·h – h² = x² / 4 ⇒

5·h – h² = 3² / 4 ⇒

5·h – h² = 2,25 ⇒

h² – 5·h + 2,25 = 0 .

Με λύσεις για το ύψος h :

h = 4,5 m ή h = 0,5 m .

Δεν υπάρχει από την εκφώνηση της άσκησης περιορισμός που να μας αποτρέπει από το να δεχτούμε κάποια από τις δύο λύσεις . Άρα και οι δύο λύσεις είναι δεκτές .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .