Θεώρημα Torricelli – Εξίσωση της υδροστατικής

Απλή πειραματική συσκευή για τον νόμο του Torricelli .

Μια άσκηση που δεν δημιουργήσαμε εμείς .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου

Δείτε και αυτό

Θεώρημα Torricelli – Εξίσωση της υδροστατικής

Κυλινδρικό δοχείο ύψους H είναι γεμάτο με υγρό . Στην ίδια κατακόρυφο της πλευρικής κυλινδρικής επιφάνειας ανοίγουμε δύο τρύπες που απέχουν από το έδαφος αποστάσεις h₁ και h₂ έτσι ώστε το υγρό από τις δύο τρύπες να πέφτει στο ίδιο σημείο του εδάφους ;

Δίνεται g = 10 m / s² .

Λύση

Για το υγρό που εκρέει από την τρύπα (1) έχουμε :

x = υ₁·t₁ … (I) ,

και

h₁ = ½·g·t₁² ⇒

t₁ = √(2·h₁ / g) … (ΙΙ) .

Από το θεώρημα του Torricelli , έχουμε :

υ₁ = √[2·g·(H – h₁)] … (ΙΙΙ) .

Από την εξίσωση (Ι) με την βοήθεια των (ΙΙ) και (ΙΙΙ) :

x = √[2·g·(H – h₁)]·√(2·h₁ / g) … (IV) .

Ομοίως για το υγρό που εκρέει από την τρύπα (2) έχουμε :

x = υ₂·t₂ , t₂ = √(2·h₂ / g) και υ₂ = √[2·g·(H – h₂)] .

επομένως

x = √[2·g·(H – h₂)]·√(2·h₂ / g) … (V) .

Από τις εξισώσεις (IV) και (V) , τα πρώτα μέλη είναι ίσα , άρα :

√[2·g·(H – h₁)]·√(2·h₁ / g) = √[2·g·(H – h₂)]·√(2·h₂ / g) ⇒

υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουν απλοποιήσεις , οπότε :

(H – h₁)·h₁ = (H – h₂)·h₂ ⇒

H·h₁ – h₁² = H·h₂ – h₂² ⇒

H·h₁ – H·h₂ = h₁² –  h₂² ⇒

H·(h₁ – h₂) = (h₁ – h₂)·(h₁ + h₂) ⇒

αν h₁ ≠ h₂ ,

h₁ + h₂ = Η .

Λύνεται και γενικά αναζητώντας της λύσεις του τριωνύμου που σχηματίζεται , ως εξής :

x = υ·t , t = √(2·h / g) και υ = √[2·g·(H – h)] .

επομένως

x = √[2·g·(H – h)]·√(2·h / g) ⇒

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο .

x² = 4·(H – h)·h ⇒

4·h² – 4·H·h + x² = 0 ,

με ρίζες :

h₁ = [H + √(H² – x²)] / 2

και

h₂ = [H – √(H² – x²)] / 2

προσθέτουμε τις δύο ρίζες h₁ και h₂ κατά μέλη :

h₁ + h₂ = Η .

Σχόλιο : Μια άσκηση διδακτική .

Επιστρέψτε στη σελίδα Ασκήσεις στη φυσική της Γ΄ λυκείου .